Nos problemas 17-26, resolva o problema de valor inicial.
1theta d yd theta=y sen thetay^2+1, y(pi)=1

Passo 1

Temos o problema de valor inicial

que é uma equação diferencial ordinária de variável separável.

Passo 2

Reorganizamos para separar as variáveis. Multiplicando ambos os lados por theta e por (y^2+1)/y, obtemos
y^2+1y,dy=thetasintheta,dtheta

Passo 3

Agora integramos cada lado. No lado esquerdo:
integraly^2+1y,dy=integrall(y+1yr)dy=y^22+ln|y|
No lado direito:
integralthetasintheta,dtheta=-thetacostheta+sintheta+C
Logo a solução implícita é
y^22+ln|y|=-thetacostheta+sintheta+C

Passo 4

Aplicamos a condição inicial y(pi)=1. No lado esquerdo, quando y=1 temos 1/2+ln1=1/2. No direito, quando theta=pi temos -picospi+sinpi+C=pi+C. Assim
12=pi+C Rightarrow C=12-pi

Passo 5

Substituindo C na solução implícita chegamos a
y^22+ln|y|=-thetacostheta+sintheta+12-pi
que determina y(theta) de forma implícita.

Resposta

y^22+ln|y|=-thetacostheta+sintheta+12-pi

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