Exercício 2. Esboce as regiões de integração e determine o valor de cada uma das integrais duplas abaixo.
$\iint_{D} e{y{2}} d A, \operatorname{com} D=\left{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; 0 \leq x \leq y, 0 \leq y \leq 1\right});

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região
D = (x,y)inR^2 mid 0 <= x <= y,;0 <= y <= 1
e calcular
integral duplaD e^y^2,dA
O conteúdo aqui é usar o Teorema de Fubini para transformar a integral dupla em iterada e depois uma substituição simples.

Passo 2

A região D é o triângulo no primeiro quadrante limitado pelas retas x=0, y=1 e x=y. Para cada y entre 0 e 1, x varia de 0 até y. Assim
integral duplaD e^y^2,dA = integraly=0^1!integralx=0^y e^y^2,dx,dy

Passo 3

Dentro da integral interna e^y^2 é constante em x, logo
integralx=0^y e^y^2,dx = e^y^2l[xr]0^y = y,e^y^2
Fica então
integral0^1 y,e^y^2,dy
Use a substituição u=y^2, du=2y,dy, ou seja y,dy = tfrac12,du. Os limites vão de u(0)=0 a u(1)=1, então
integral0^1 y,e^y^2,dy = tfrac12integral0^1 e^u,du = tfrac12l[e^ur]0^1 = tfrace-12

Resposta

integral duplaD e^y^2,dA = e - 12

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