Exercício 2. Esboce as regiões de integração e determine o valor de cada uma das integrais duplas abaixo.
$\iint_{D} e{y{2}} d A, \operatorname{com} D=\left{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; 0 \leq x \leq y, 0 \leq y \leq 1\right});
$\iint_{D} e{y{2}} d A, \operatorname{com} D=\left{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; 0 \leq x \leq y, 0 \leq y \leq 1\right});
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região
e calcular
O conteúdo aqui é usar o Teorema de Fubini para transformar a integral dupla em iterada e depois uma substituição simples.
Passo 2
A região
é o triângulo no primeiro quadrante limitado pelas retas
,
e
. Para cada
entre
e
,
varia de
até
. Assim
Passo 3
Dentro da integral interna
é constante em
, logo
Fica então
Use a substituição
,
, ou seja
. Os limites vão de
a
, então