Exercício 1. Determine as derivadas parciais:
z=arctg xy

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais de
z = arctan!l(xyr)
O que vamos usar é:
  • a regra da cadeia para derivadas;
  • a derivada de arctan(u), que é 1/(1+u^2);
  • a derivada do quociente u = x/y.

Passo 2

Calcular partial zpartial x.
Defina
u = xy,
então z = arctan(u). Pela regra da cadeia,
partial zpartial x = 11 + u^2,partial upartial x
Agora,
partial upartial x = partialpartial x!l(xyr) = 1y
Logo,
partial zpartial x = 11 + l(xyr)^2,1y = 1yl(1 + x^2y^2r) = yx^2 + y^2

Passo 3

Calcular partial zpartial y.
Continuando com u = x/y e z = arctan(u), pela regra da cadeia,
partial zpartial y = 11 + u^2,partial upartial y
E
partial upartial y = partialpartial y!l(xyr) = -,xy^2
Portanto,
partial zpartial y = -,xy^21 + l(xyr)^2 = -xy^2l(1 + x^2y^2r) = -xx^2 + y^2

Resposta

partial zpartial x = yx^2 + y^2, partial zpartial y = -xx^2 + y^2

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