Questão 5. Ache o volume do paralelepípedo com arestas P Q, P R e P S se os pontos P, Q, R e S forem, respectivamente, (1,3,4),(3,5,3),(2,1,6) e (2,2,5).

Passo 1

O enunciado dá os pontos
;P=(1,3,4),;Q=(3,5,3),;R=(2,1,6),;S=(2,2,5)
e pede o volume do paralelepípedo gerado pelos vetores PQ,PR,PS.
Para isso usamos o produto misto:
V = l|PQcdotl(PRtimesPSr)r|

Passo 2

Calcular as coordenadas dos vetores:
PQ = Q - P = (3-1,;5-3,;3-4) = (2,,2,,-1),
PR = R - P = (2-1,;1-3,;6-4) = (1,,-2,,2),
PS = S - P = (2-1,;2-3,;5-4) = (1,,-1,,1)

Passo 3

Calcular o produto vetorial PRtimesPS. Usando
(a1,a2,a3)times(b1,b2,b3) = l(a2b3 - a3b2,;a3b1 - a1b3,;a1b2 - a2b1r),
temos
PRtimesPS = (1,-2,2)times(1,-1,1) =( -2cdot1 - 2cdot(-1),;2cdot1 - 1cdot1,;1cdot(-1) - (-2)cdot1 ) =(0,,1,,1)

Passo 4

Agora o produto escalar
PQcdotl(PRtimesPSr) = (2,2,-1)cdot(0,1,1) =2cdot0 + 2cdot1 + (-1)cdot1 =1
Logo o volume é o valor absoluto desse resultado:

Resposta

O volume do paralelepípedo é 1.

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