Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a derivada da função $ f(x) = \sqrt{1 - 2x} $ usando a definição de derivada. Além disso, precisamos determinar quais são os domínios dessa função e da sua derivada. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição de derivada e como aplicá-la a essa função específica.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é derivada. A derivada de uma função em um ponto mede a taxa de variação da função nesse ponto, ou seja, como a função está mudando naquele exato instante. A definição formal da derivada de $ f(x) $ em $ x $ é:
Então, vamos aplicar essa definição à nossa função $ f(x) = \sqrt{1 - 2x} $.
Passo 3
Vamos substituir $ f(x) $ na fórmula da derivada:
Simplificando dentro das raízes:
Passo 4
Para resolver esse limite, vamos racionalizar o numerador. Isso significa multiplicar o numerador e o denominador pela conjugada do numerador:
Passo 5
Multiplicando os numeradores e denominadores:
O
se cancela:
Passo 6
Agora, podemos simplificar $ h $ no numerador e denominador:
Passo 7
Com $ h $ tendendo a zero, a expressão fica:
Passo 8
Agora, vamos determinar os domínios da função e da sua derivada.
Para a função $ f(x) = \sqrt{1 - 2x} $, o que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero:
Portanto, o domínio de $ f(x) $ é todos os reais $ x $ tais que $ x \leq \frac{1}{2} $.
Para a derivada $ f’(x) = \frac{-1}{\sqrt{1 - 2x}} $, além de $ 1 - 2x \geq 0 $, o denominador não pode ser zero:
Então, o domínio da derivada é todos os reais $ x $ tais que $ x < \frac{1}{2} $.
Resposta
A derivada da função é $ f’(x) = \frac{-1}{\sqrt{1 - 2x}} $. O domínio da função $ f(x) $ é $ x \leq \frac{1}{2} $ e o domínio da derivada $ f’(x) $ é $ x < \frac{1}{2} $.