Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.
f(x)=raiz1-2 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a derivada da função $ f(x) = \sqrt{1 - 2x} $ usando a definição de derivada. Além disso, precisamos determinar quais são os domínios dessa função e da sua derivada. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição de derivada e como aplicá-la a essa função específica.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é derivada. A derivada de uma função em um ponto mede a taxa de variação da função nesse ponto, ou seja, como a função está mudando naquele exato instante. A definição formal da derivada de $ f(x) $ em $ x $ é:
f(x)
Então, vamos aplicar essa definição à nossa função $ f(x) = \sqrt{1 - 2x} $.

Passo 3

Vamos substituir $ f(x) $ na fórmula da derivada:
f(x)
Simplificando dentro das raízes:
f'(x) = limh to 0 raiz1 - 2(x + h) - raiz1 - 2xh

Passo 4

Para resolver esse limite, vamos racionalizar o numerador. Isso significa multiplicar o numerador e o denominador pela conjugada do numerador:
f'(x) = limh to 0 raiz1 - 2x - 2h - raiz1 - 2xh times raiz1 - 2x - 2h + raiz1 - 2xraiz1 - 2x - 2h + raiz1 - 2x

Passo 5

Multiplicando os numeradores e denominadores:
f'(x) = limh to 0 (1 - 2x - 2h) - (1 - 2x)h ( raiz1 - 2x - 2h + raiz1 - 2x )
O 1 - 2x se cancela:
f'(x) = limh to 0 -2hh ( raiz1 - 2x - 2h + raiz1 - 2x )

Passo 6

Agora, podemos simplificar $ h $ no numerador e denominador:
h

Passo 7

Com $ h $ tendendo a zero, a expressão fica:
h

Passo 8

Agora, vamos determinar os domínios da função e da sua derivada.
Para a função $ f(x) = \sqrt{1 - 2x} $, o que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero:
f(x) = raiz1 - 2x
Portanto, o domínio de $ f(x) $ é todos os reais $ x $ tais que $ x \leq \frac{1}{2} $.
Para a derivada $ f’(x) = \frac{-1}{\sqrt{1 - 2x}} $, além de $ 1 - 2x \geq 0 $, o denominador não pode ser zero:
1 - 2x >= 0 implies x <= 12
Então, o domínio da derivada é todos os reais $ x $ tais que $ x < \frac{1}{2} $.

Resposta

A derivada da função é $ f’(x) = \frac{-1}{\sqrt{1 - 2x}} $. O domínio da função $ f(x) $ é $ x \leq \frac{1}{2} $ e o domínio da derivada $ f’(x) $ é $ x < \frac{1}{2} $.

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