Considerando a definição acima, encontre uma equação da reta tangente e para a reta normal à curva no ponto dado:
y=2 x e^x, P=(0,0)
Definição: Seja f uma função derivável em p. A reta que passa por (p, f(p)) e que é perpendicular à reta tangente é chamada de reta normal ao gráfico de f em (p, f(p)). Se f^prime(p) neq 0, a equação da reta normal no ponto (p, f(p)) será
y-f(p)=-1f^prime(p)(x-p)
Se f^prime(p)=0, a equação da reta normal em (p, f(p)) será x=p.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar as equações da reta tangente e da reta normal à curva $ y = 2x e^{x} $ no ponto $ P = (0, 0) $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivada de funções, que nos dá a inclinação da reta tangente em um ponto qualquer da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que estamos trabalhando:
y = 2x e^x
Queremos encontrar a reta tangente e a normal nesse ponto específico $ P = (0, 0) $.

Passo 3

Para achar a reta tangente, precisamos calcular a derivada da função $ y $ em relação a $ x $. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente.
Vamos calcular $ y’ $:
y
Usamos a regra do produto para derivar:
x
y'
y = 2x e^x

Passo 4

Agora, vamos avaliar a derivada no ponto $ x = 0 $ para encontrar a inclinação da reta tangente em $ P = (0, 0) $:
x = 0
P = (0, 0)
y'(0) = 2e^0(1 + 0)
Então, a inclinação da reta tangente é 2.

Passo 5

Com a inclinação da reta tangente em mãos, podemos usar a equação da reta na forma ponto-inclinação:
y - y0 = m(x - x0)
Onde:
- $ (x_{0}, y_{0}) $ é o ponto de tangência, que é $ (0, 0) $
- $ m $ é a inclinação, que é 2
Substituindo:
(x0, y0)
(0, 0)

Passo 6

Agora, vamos encontrar a reta normal. A reta normal é perpendicular à reta tangente e, portanto, sua inclinação é o negativo do inverso da inclinação da tangente.
A inclinação da tangente é 2, então a inclinação da normal é:
mnormal = -12
Usando novamente a equação da reta na forma ponto-inclinação:
y - y0 = mnormal(x - x0)
y - 0 = -12(x - 0)
y = -12x

Resposta

A equação da reta tangente é $ y = 2x $ e a equação da reta normal é $ y = -\dfrac{1}{2}x $.

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