Considerando a definição acima, encontre uma equação da reta tangente e para a reta normal à curva no ponto dado:
Definição: Seja
uma função derivável em
. A reta que passa por
e que é perpendicular à reta tangente é chamada de reta normal ao gráfico de
em
. Se
, a equação da reta normal no ponto
será
Se
, a equação da reta normal em
será
.
Definição: Seja
Se
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar as equações da reta tangente e da reta normal à curva $ y = 2x e^{x} $ no ponto $ P = (0, 0) $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivada de funções, que nos dá a inclinação da reta tangente em um ponto qualquer da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que estamos trabalhando:
Queremos encontrar a reta tangente e a normal nesse ponto específico $ P = (0, 0) $.
Passo 3
Para achar a reta tangente, precisamos calcular a derivada da função $ y $ em relação a $ x $. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente.
Vamos calcular $ y’ $:
Usamos a regra do produto para derivar:
Passo 4
Agora, vamos avaliar a derivada no ponto $ x = 0 $ para encontrar a inclinação da reta tangente em $ P = (0, 0) $:
Então, a inclinação da reta tangente é 2.
Passo 5
Com a inclinação da reta tangente em mãos, podemos usar a equação da reta na forma ponto-inclinação:
Onde:
- $ (x_{0}, y_{0}) $ é o ponto de tangência, que é $ (0, 0) $
- $ m $ é a inclinação, que é 2
Substituindo:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a reta normal. A reta normal é perpendicular à reta tangente e, portanto, sua inclinação é o negativo do inverso da inclinação da tangente.
A inclinação da tangente é 2, então a inclinação da normal é:
Usando novamente a equação da reta na forma ponto-inclinação:
Resposta
A equação da reta tangente é $ y = 2x $ e a equação da reta normal é $ y = -\dfrac{1}{2}x $.