Reconheça a cônica a seguir.
$16 x^{2}+16 y^{2}-16 x+8 y-59=0

Passo 1

O enunciado fornece a cônica
16x^2+16y^2-16x+8y-59=0
e pede para reconhecê-la. O conteúdo aqui é identificação de cônicas por meio de completamento de quadrados, para colocar na forma padrão de circunferência.

Passo 2

Agrupamos os termos em x e em y e fatoramos onde for conveniente:
16x^2-16x ;+;16y^2+8y ;-;59 ;=;0 Longrightarrow 16l(x^2-xr)+16l(y^2+tfrac12yr)-59=0

Passo 3

Completamos o quadrado em cada parte:
x^2-x = l(x-tfrac12r)^2-tfrac14, y^2+tfrac12y = l(y+tfrac14r)^2-tfrac116
Substituindo na equação e distribuindo:
16l(l(x-tfrac12r)^2-tfrac14r) +16l(l(y+tfrac14r)^2-tfrac116r) -59=0
16(x-tfrac12)^2+16(y+tfrac14)^2-4-1-59=0 Longrightarrow 16(x-tfrac12)^2+16(y+tfrac14)^2=64
Dividindo por 16:
(x-tfrac12)^2+(y+tfrac14)^2=4

Passo 4

A forma obtida
(x-tfrac12)^2+(y+tfrac14)^2=2^2
é a equação padrão de uma circunferência de centro l(tfrac12,-tfrac14r) e raio 2.

Resposta

A cônica é uma circunferência de centro l(tfrac12,-tfrac14r) e raio 2.

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