Exercício 8 - Escreva a definição e dê um exemplo de:
(d) Conjunto imagem de uma função real de n variáveis reais, n \in\{2,3,4, \ldots\}.

Passo 1

O enunciado pede para escrevermos a definição de conjunto imagem de uma função real de n variáveis e, em seguida, dar um exemplo concreto. O conteúdo aqui envolve noções de função de várias variáveis, domínio, contradomínio e imagem.

Passo 2

Seja
f\colon A \subseteq \mathbb{R}^n \;\longrightarrow\; \mathbb{R}
uma função de n variáveis reais. Definimos o conjunto imagem (ou simplesmente imagem) de f como
\operatorname{Im}(f) =\{\,y\in\mathbb{R}\mid \exists\,x\in A\text{ tal que }y=f(x)\}.

Passo 3

Em outras palavras, a imagem de f é o conjunto de todos os valores que f pode assumir quando suas entradas percorrem o domínio A. Note que a imagem sempre é um subconjunto do contradomínio (aqui \mathbb{R}), mas nem sempre coincide com ele.

Passo 4

Exemplo com n=2. Considere
f\colon \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}, \quad f(x,y)=x^2+y^2.
Aqui o domínio A é todo \mathbb{R}^2. Como x^2\ge0 e y^2\ge0 para todo (x,y), os possíveis valores de f são todos os números reais não negativos. Logo,
\operatorname{Im}(f)=[0,\infty).

Resposta

Definição:
\operatorname{Im}(f) =\{\,y\in\mathbb{R}\mid \exists\,x\in A\text{ tal que }y=f(x)\}.
Exemplo:
para f(x,y)=x^2+y^2 em \mathbb{R}^2, tem-se \operatorname{Im}(f)=[0,\infty).

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