Exercício 5: Escreva detalhadamente a negação de lim an=L e prove que a sequiência an=(-1)^n definida por não converge a nenhum número real.

Passo 1

O enunciado pede para escrever a negação da definição de limite de uma sequência e, em seguida, usar essa negação para provar que a sequência an = (-1)^n não converge a nenhum L in R. O conteúdo principal é a definição de limite de sequência e sua negação.

Passo 2

A definição de limntoinftyan = L é:
forall,varepsilon>0;exists,NinN;forall,n>= N:;|an - L|
A negação dessa definição é:
exists,varepsilon>0;forall,NinN;exists,n>= N:;|an - L|>= varepsilon

Passo 3

Suponha, por absurdo, que existe LinR tal que an = (-1)^n converge a L. Considere
varepsilon = 12minl(|1-L|,,|-1-L|r)
Como pelo menos um dos valores |1-L| e |-1-L| é positivo, temos varepsilon>0. Agora, para qualquer N, basta escolher um índice n>= N que seja par se |1-L|>=|-1-L| ou ímpar caso contrário. Assim garantimos
|an - L| = |1-L|>= 2varepsilon,&se n é par,|-1-L|>= 2varepsilon,&se n é ímpar ééí
Logo |an - L|>= 2varepsilon>varepsilon, o que satisfaz a negação da definição de limite e contradiz a hipótese de convergência.

Passo 4

Como chegamos a uma contradição em assumir que an converge a L, concluímos que não existe LinR tal que limntoinfty(-1)^n = L.

Resposta

A negação de “ limntoinftyan = L” é
exists,varepsilon>0;forall,NinN;exists,n>= N:;|an - L|>= varepsilon
Usando essa negação e escolhendo varepsilon=tfrac12min(|1-L|,|-1-L|)>0, mostramos que para cada N existe n>= N tal que |(-1)^n-L|>=varepsilon. Portanto, ((-1)^n) não converge a nenhum número real.

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