Exercício 5: Escreva detalhadamente a negação de
e prove que a sequiência
definida por
não converge a nenhum número real.
Passo 1
O enunciado pede para escrever a negação da definição de limite de uma sequência e, em seguida, usar essa negação para provar que a sequência
não converge a nenhum
. O conteúdo principal é a definição de limite de sequência e sua negação.
Passo 2
A definição de
é:
A negação dessa definição é:
Passo 3
Suponha, por absurdo, que existe
tal que
converge a
. Considere
Como pelo menos um dos valores
e
é positivo, temos
. Agora, para qualquer
, basta escolher um índice
que seja par se
ou ímpar caso contrário. Assim garantimos
Logo
, o que satisfaz a negação da definição de limite e contradiz a hipótese de convergência.
Passo 4
Como chegamos a uma contradição em assumir que
converge a
, concluímos que não existe
tal que
.
Resposta
A negação de “
” é
Usando essa negação e escolhendo
, mostramos que para cada
existe
tal que
. Portanto,
não converge a nenhum número real.