(1,5 ponto) Calcule o comprimento de arco determinado pela função
no intervalo [3;4].
Passo 1
No enunciado, vamos calcular o comprimento de arco da função y = x^{2} + e no intervalo [3,4]. O conteúdo é comprimento de arco de curva no plano cartesiano, e vamos precisar da derivada de y e da fórmula de comprimento de arco.
Passo 2
Primeiro, encontramos a derivada de y em relação a x. Como y = x^{2} + e, sua derivada é
Passo 3
Em seguida, aplicamos a fórmula do comprimento de arco L para uma função y(x) de a até b:
Aqui, a = 3 e b = 4, e y’ = 2x, então
Passo 4
coloca-se o integrando explicitamente:
Passo 5
Para resolver
, usamos a primitiva padrão. Uma antiderivada é
Passo 6
Agora avaliamos essa primitiva entre x = 3 e x = 4. Denotando por F(x) a antiderivada acima, temos:
F(4) = 2\sqrt{65} + \frac{1}{4}\ln\bigl(8 + \sqrt{65}\bigr)
F(4) = 2\sqrt{65} + \frac{1}{4}\ln\bigl(8 + \sqrt{65}\bigr)
F(3) = \frac{3}{2}\sqrt{37} + \frac{1}{4}\ln\bigl(6 + \sqrt{37}\bigr)
Passo 7
Logo, o comprimento de arco é a diferença F(4) – F(3):