(1,5 ponto) Calcule o comprimento de arco determinado pela função y=x^2+e no intervalo [3;4].

Passo 1

No enunciado, vamos calcular o comprimento de arco da função y = x^{2} + e no intervalo [3,4]. O conteúdo é comprimento de arco de curva no plano cartesiano, e vamos precisar da derivada de y e da fórmula de comprimento de arco.

Passo 2

Primeiro, encontramos a derivada de y em relação a x. Como y = x^{2} + e, sua derivada é
y' = dydx = 2x

Passo 3

Em seguida, aplicamos a fórmula do comprimento de arco L para uma função y(x) de a até b:
L = integrala^b raiz1 + (y')^2,dx
Aqui, a = 3 e b = 4, e y’ = 2x, então

Passo 4

coloca-se o integrando explicitamente:
L = integral3^4 raiz1 + (2x)^2,dx = integral3^4 raiz1 + 4x^2,dx

Passo 5

Para resolver integral raiz1 + 4x^2,dx, usamos a primitiva padrão. Uma antiderivada é
integral raiz1 + 4x^2,dx = x2raiz1 + 4x^2 + 14lnl(2x + raiz1 + 4x^2r) + C

Passo 6

Agora avaliamos essa primitiva entre x = 3 e x = 4. Denotando por F(x) a antiderivada acima, temos:
F(4) = 2\sqrt{65} + \frac{1}{4}\ln\bigl(8 + \sqrt{65}\bigr)
F(3) = \frac{3}{2}\sqrt{37} + \frac{1}{4}\ln\bigl(6 + \sqrt{37}\bigr)

Passo 7

Logo, o comprimento de arco é a diferença F(4) – F(3):
L = 2raiz65 + 14lnl(8 + raiz65r) - l(32raiz37 + 14lnl(6 + raiz37r)r)

Resposta

L = 2raiz65 - tfrac32raiz37 + tfrac14ln8 + raiz656 + raiz37

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