Exercício 8. Escreva as expressões como quadrado perfeito:
m^{2}-12 m+36

Passo 1

O enunciado pede para escrever a expressão como quadrado perfeito. A expressão dada é m^{2}-12 m+36. Informações fornecidas:
  • Coeficiente do termo quadrático: 1 (ou seja, o coeficiente de m^{2} é 1).
  • Coeficiente do termo linear: -12 (coeficiente de m é -12).
  • Termo constante: 36.

Passo 2

Vamos usar a identidade básica de um quadrado de uma soma/ diferença, que é a forma mais direta para reconhecer quadrado perfeito. A identidade é:
(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}.
Aqui x representa a variável (no nosso caso m) e y é um número que queremos encontrar para que a identidade coincida com a expressão dada.

Passo 3

Comparando a identidade com a expressão m^{2}-12 m+36, identificamos que o termo quadrático é m^{2} (coincide com x^{2}) e o termo linear deve ser 2xy. Substituindo x=m na identidade, obtemos o termo linear 2m y. Igualamos esse termo ao termo linear do polinômio:
2m y = -12 m.
Cancelando m (que é comum e não é zero como símbolo), temos
2y = -12.
Logo
y = -6.

Passo 4

Agora que encontramos y=-6, substituímos na identidade para escrever o quadrado perfeito:
(m+y)^{2}=(m-6)^{2}.
Para ter certeza, fazemos a verificação expandindo (m-6)^{2}:
(m-6)^{2}=m^{2}-2\cdot6\cdot m+6^{2}=m^{2}-12m+36,
que é exatamente a expressão original.

Passo 5

Dica prática para a prova: para um quadrático com coeficiente de m^{2} igual a 1, isto é, m^{2}+b m+c, basta calcular \dfrac{b}{2}. Se c=\left(\dfrac{b}{2}\right)^{2}, então o polinômio é o quadrado perfeito \left(m+\dfrac{b}{2}\right)^{2}. No nosso caso b=-12, então \dfrac{b}{2}=-6 e c=36=(-6)^{2}, confirmando o resultado.

Resposta

(m-6)^{2}

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