Exercício 8. Escreva as expressões como quadrado perfeito:
p^{4}+14 p^{2}+49

Passo 1

O enunciado pede para escrever a expressão p^{4}+14 p^{2}+49 como um quadrado perfeito.
Informações dadas:
  • A expressão é p^{4}+14 p^{2}+49.
  • A tarefa é reescrevê-la na forma de um quadrado perfeito (isto é, como \text{algo}^2).

Passo 2

Uma estratégia útil é notar que a expressão é um polinômio em p^{2}. Para facilitar a visualização, faça a substituição temporária
x = p^{2}.
Com isso a expressão fica
x^{2} + 14x + 49.
Agora o problema virou: escrever x^{2}+14x+49 como quadrado perfeito.

Passo 3

Lembrete da identidade de quadrado perfeito (fórmula que usamos): para quaisquer números a e b vale
(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}.
Nessa fórmula:
  • a é o primeiro termo do binómio,
  • b é o segundo termo,
  • 2ab é o termo do meio do trinómio resultante,
  • a^{2} e b^{2} são os termos quadrados nas extremidades.

Passo 4

Compare x^{2}+14x+49 com a^{2}+2ab+b^{2}. Se escolhermos a=x então precisamos de 2ab=14x, ou seja 2\cdot x\cdot b = 14x. Cancelando x (assumindo x genérico), obtemos 2b=14, logo b=7. Verifique também que b^{2}=7^{2}=49, que coincide com o termo constante. Portanto
(x+7)^{2} = x^{2} + 2\cdot x\cdot 7 + 7^{2} = x^{2} + 14x + 49.

Passo 5

Volte à variável original p substituindo x=p^{2}. Assim
(p^{2}+7)^{2} = p^{4} + 14p^{2} + 49.
Como alternativa, poderia-se também completar o quadrado diretamente: metade do coeficiente de p^{2} é 14/2=7, e 7^{2}=49, o que confirma o mesmo resultado.

Passo 6

Conclusão: a expressão original é exatamente o quadrado do binómio p^{2}+7.

Resposta

(p^{2}+7)^{2}

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