Exercício 7. Escreva como produto da soma pela diferença:
Passo 1
O enunciado dá a expressão
e pede: escrever essa expressão como produto da soma pela diferença.
Informação relevante: a expressão dada é exatamente . Não há outros dados.
Informação relevante: a expressão dada é exatamente
Passo 2
Lembrete de uma identidade útil (a que vamos usar): para quaisquer números ou expressões
e
vale
Aqui
e
são símbolos que representam qualquer quantidade — podem ser números, variáveis ou expressões algébricas. Essa identidade é chamada diferença de quadrados e é frequentemente usada para fatorar expressões da forma
.
Passo 3
Reconhecer a nossa expressão como uma diferença de quadrados: note que
é
e
é
. Então podemos identificar
e aplicar a identidade da diferença de quadrados. Assim,
Passo 4
Agora observar que o fator
também é uma diferença de quadrados, porque
e
. Aplicando a mesma identidade com
obtém-se
Passo 5
Substituindo essa fatoração em
obtemos a fatoração completa (sobre os números reais):
O fator
é uma soma de quadrados e, em números reais, não se fatoriza mais (só se introduzirmos números complexos).
Passo 6
Verificação rápida por multiplicação (confirmação didática): multiplicando os dois primeiros fatores
dá
; multiplicando por
volta a dar
. Isso confirma que a fatoração está correta.