Exercício 7. Escreva como produto da soma pela diferença:
16-x^{4}

Passo 1

O enunciado dá a expressão 16 - x^{4} e pede: escrever essa expressão como produto da soma pela diferença.
Informação relevante: a expressão dada é exatamente 16 - x^{4}. Não há outros dados.

Passo 2

Lembrete de uma identidade útil (a que vamos usar): para quaisquer números ou expressões a e b vale
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Aqui a e b são símbolos que representam qualquer quantidade — podem ser números, variáveis ou expressões algébricas. Essa identidade é chamada diferença de quadrados e é frequentemente usada para fatorar expressões da forma \text{(coisa)}^{2}-\text{(outra coisa)}^{2}.

Passo 3

Reconhecer a nossa expressão como uma diferença de quadrados: note que 16 é 4^{2} e x^{4} é (x^{2})^{2}. Então podemos identificar
a=4,\qquad b=x^{2},
e aplicar a identidade da diferença de quadrados. Assim,
16-x^{4}=4^{2}-(x^{2})^{2}=(4-x^{2})(4+x^{2}).

Passo 4

Agora observar que o fator 4-x^{2} também é uma diferença de quadrados, porque 4=2^{2} e x^{2}=(x)^{2}. Aplicando a mesma identidade com
a=2,\qquad b=x,
obtém-se
4-x^{2}=2^{2}-x^{2}=(2-x)(2+x).

Passo 5

Substituindo essa fatoração em (4-x^{2})(4+x^{2}) obtemos a fatoração completa (sobre os números reais):
16-x^{4}=(2-x)(2+x)(4+x^{2}).
O fator 4+x^{2} é uma soma de quadrados e, em números reais, não se fatoriza mais (só se introduzirmos números complexos).

Passo 6

Verificação rápida por multiplicação (confirmação didática): multiplicando os dois primeiros fatores (2-x)(2+x) 4-x^{2}; multiplicando por (4+x^{2}) volta a dar 16-x^{4}. Isso confirma que a fatoração está correta.

Resposta

(2-x)(2+x)(4+x^{2})

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