Exercício 8. Escreva as expressões como quadrado perfeito:
a^{2}+10 a+25

Passo 1

O enunciado pede para escrever a expressão a^{2}+10 a+25 como um quadrado perfeito.
Informações dadas:
  • Termo quadrático: a^{2} (coeficiente 1);
  • Termo linear: 10a (coeficiente 10);
  • Termo constante: 25.
A pergunta explícita é: transformar a^{2}+10 a+25 numa expressão da forma (\text{algo})^{2}.

Passo 2

Lembrete útil (fórmula que vamos usar): a identidade do quadrado da soma é
(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}.
Aqui x e y são variáveis genéricas; x^{2} é o termo quadrático, 2xy é o termo linear (produto cruzado) e y^{2} é o termo constante relativo a y.

Passo 3

Vamos comparar a identidade com a expressão dada. Como o termo quadrático é a^{2}, tomamos x=a. Então a parte correspondente ao termo linear na identidade é 2ay. Queremos que esse termo seja igual a 10a. Assim:
2a y = 10 a.
Se a não for a fonte de confusão (pode ser cancelado formalmente), dividimos ambos os lados por a (ou raciocinamos que os coeficientes devem coincidir):
2y = 10 \quad\Rightarrow\quad y = 5.

Passo 4

Verificação do termo constante: com y=5 temos y^{2}=5^{2}=25, que coincide exatamente com o termo constante da expressão dada. Portanto a expressão é um quadrado perfeito e sua forma é
(a+5)^{2}.
Conferindo a expansão:
(a+5)^{2}=a^{2}+2\cdot a\cdot 5+5^{2}=a^{2}+10a+25,
que é exatamente a expressão inicial.

Passo 5

Dica prática para a prova (método geral e rápido): para qualquer quadrático com coeficiente líder 1, x^{2}+bx+c, usar
x^{2}+bx+c=\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}+\left(c-\left(\frac{b}{2}\right)^{2}\right).
Logo, a expressão é um quadrado perfeito exatamente quando c=\left(\dfrac{b}{2}\right)^{2}; aí o quadrado perfeito é \left(x+\dfrac{b}{2}\right)^{2}. No nosso caso b=10, então \dfrac{b}{2}=5 e c=25=(5)^{2}, o que confirma o resultado. Vai dar certo na prova — você consegue!

Resposta

(a+5)^{2}

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