Exercício 8: Uma esfera maciça de massa
e raio
rola sem deslizar descendo um plano inclinado de ângulo
. Encontre a velocidade do centro de massa na base do plano inclinado e a aceleração do centro de massa.
Passo 1
O enunciado descreve uma esfera maciça de massa
e raio
que rola sem deslizar descendo um plano inclinado de ângulo
. Precisamos encontrar a aceleração do centro de massa
e a velocidade
do centro de massa ao chegar à base do plano. Vamos usar Dinâmica de Corpo Rígido (equação de Newton para translação e para rotação) e Conservação de Energia.
Passo 2
Analisando as forças e torques:
— A componente do peso paralela ao plano é .
— A força de atrito estático (que não faz deslizar) é .
Pela segunda lei de Newton na direção do plano:
— A componente do peso paralela ao plano é
— A força de atrito estático (que não faz deslizar) é
Pela segunda lei de Newton na direção do plano:
Pelo torque em relação ao centro de massa:
e, como não há deslizamento, vale
. Para uma esfera maciça temos
Passo 3
Substituindo
na equação de translação:
Com
obtemos
Passo 4
Para a velocidade no final do plano podemos usar Conservação de Energia: se a esfera desce uma altura vertical
, perde energia potencial
que vira energia cinética de translação e rotação,
Logo
Passo 5
Substituindo
obtemos
Como a altura
está relacionada ao comprimento do plano
por
, podemos também escrever