Exercício 8: Uma esfera maciça de massa m e raio R rola sem deslizar descendo um plano inclinado de ângulo \theta. Encontre a velocidade do centro de massa na base do plano inclinado e a aceleração do centro de massa.

Passo 1

O enunciado descreve uma esfera maciça de massa m e raio R que rola sem deslizar descendo um plano inclinado de ângulo \theta. Precisamos encontrar a aceleração do centro de massa a e a velocidade v do centro de massa ao chegar à base do plano. Vamos usar Dinâmica de Corpo Rígido (equação de Newton para translação e para rotação) e Conservação de Energia.

Passo 2

Analisando as forças e torques:
— A componente do peso paralela ao plano é m g \sin\theta.
— A força de atrito estático (que não faz deslizar) é F.
Pela segunda lei de Newton na direção do plano:
m g \sin\theta \;-\;F \;=\; m\,a.
Pelo torque em relação ao centro de massa:
F\,R \;=\; I\,\alpha,
e, como não há deslizamento, vale \alpha = a/R. Para uma esfera maciça temos
I = \tfrac{2}{5}\,mR^{2}.

Passo 3

Substituindo F = I\,\alpha/R = I\,a/R^{2} na equação de translação:
m g \sin\theta \;-\;\frac{I\,a}{R^{2}} \;=\; m\,a \quad\Longrightarrow\quad m g \sin\theta \;=\; a\Bigl(m + \frac{I}{R^{2}}\Bigr).
Com I/R^{2} = \tfrac{2}{5}m obtemos
a = \frac{m g \sin\theta}{m + \tfrac{2}{5}m} = \frac{g \sin\theta}{1 + \tfrac{2}{5}} = \frac{5}{7}\,g\sin\theta.

Passo 4

Para a velocidade no final do plano podemos usar Conservação de Energia: se a esfera desce uma altura vertical h, perde energia potencial mgh que vira energia cinética de translação e rotação,
m g h = \tfrac{1}{2}m v^{2} \;+\;\tfrac{1}{2}I\bigl(\tfrac{v}{R}\bigr)^{2} = \tfrac{1}{2}m v^{2}\Bigl(1+\frac{I}{mR^{2}}\Bigr).
Logo
v^{2} = \frac{2\,g\,h}{1 + \tfrac{I}{mR^{2}}}.

Passo 5

Substituindo I/(mR^{2}) = 2/5 obtemos
v^{2} = \frac{2\,g\,h}{1 + \tfrac{2}{5}} = \frac{10}{7}\,g\,h \quad\Longrightarrow\quad \displaystyle v = \sqrt{\frac{10}{7}\,g\,h}.
Como a altura h está relacionada ao comprimento do plano L por h = L\sin\theta, podemos também escrever
\displaystyle v = \sqrt{\frac{10}{7}\,g\,L\,\sin\theta}.

Resposta

\displaystyle a = \frac{5}{7}\,g\,\sin\theta
\displaystyle v = \sqrt{\frac{10}{7}\,g\,h}\quad\bigl(\text{ou }v=\sqrt{\tfrac{10}{7}gL\sin\theta}\bigr)

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