Exercício 3: Mostre que o momento de inércia de uma haste uniforme de comprimento L e massa m tende a 1 / 3 \mathrm{~mL}^{2}, dividindo a haste em 2, 3 e 4 partes.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar o momento de inércia de uma haste uniforme de comprimento L e massa m em torno de um eixo passando por uma extremidade, dividindo-a em partes iguais e tratando cada parte como uma partícula concentrada em seu centro. Esse procedimento gera uma soma de “Riemann” para
I=\int_{0}^{L} x^{2}\,\mathrm{d}m
que, no limite, vale \tfrac{1}{3}mL^{2}. Vamos calcular as aproximações com N=2,3,4 segmentos e mostrar que elas se aproximam de \tfrac{1}{3}mL^{2}.

Passo 2

Dividimos em N=2 partes iguais. Cada parte tem massa m_{i}=\tfrac{m}{2} e comprimento \tfrac{L}{2}. Os centros ficam a
x_{1}=\tfrac{L}{4},\quad x_{2}=\tfrac{3L}{4}.
A soma dos momentos de inércia é
I_{2}=\sum_{i=1}^{2}m_{i}\,x_{i}^{2} =\frac{m}{2}\Bigl(\bigl(\tfrac{L}{4}\bigr)^{2}+\bigl(\tfrac{3L}{4}\bigr)^{2}\Bigr) =\frac{m}{2}\,\frac{10L^{2}}{16} =\frac{5}{16}\,mL^{2} \approx 0{,}3125\,mL^{2}.

Passo 3

Para N=3, cada parte tem massa \tfrac{m}{3} e comprimento \tfrac{L}{3}. Os centros estão em
x_{1}=\tfrac{L}{6},\quad x_{2}=\tfrac{3L}{6},\quad x_{3}=\tfrac{5L}{6}.
Então
I_{3}=\frac{m}{3}\Bigl(\bigl(\tfrac{L}{6}\bigr)^{2}+\bigl(\tfrac{3L}{6}\bigr)^{2}+\bigl(\tfrac{5L}{6}\bigr)^{2}\Bigr) =\frac{m}{3}\,\frac{35L^{2}}{36} =\frac{35}{108}\,mL^{2} \approx 0{,}3241\,mL^{2}.

Passo 4

Para N=4, cada parte tem massa \tfrac{m}{4} e comprimento \tfrac{L}{4}. Os centros ficam em
x_{k}=\frac{(2k-1)L}{8},\quad k=1,2,3,4,
isto é L/8,3L/8,5L/8,7L/8. Assim
I_{4}=\frac{m}{4}\sum_{k=1}^{4}\Bigl(\frac{(2k-1)L}{8}\Bigr)^{2} =\frac{m}{4}\,\frac{84L^{2}}{64} =\frac{21}{64}\,mL^{2} \approx 0{,}3281\,mL^{2}.

Passo 5

Comparando os valores numéricos:
I_{2}\approx0{,}3125\,mL^{2},\quad I_{3}\approx0{,}3241\,mL^{2},\quad I_{4}\approx0{,}3281\,mL^{2},
vemos que, ao aumentar o número de segmentos, a soma aproxima-se de
\displaystyle\frac{1}{3}mL^{2}\approx0{,}3333\,mL^{2}.

Resposta

Mostra-se que, dividindo a haste em 2, 3 e 4 partes, as aproximações para o momento de inércia são
I_{2}=\tfrac{5}{16}mL^{2},\quad I_{3}=\tfrac{35}{108}mL^{2},\quad I_{4}=\tfrac{21}{64}mL^{2},
e todas convergem para o valor exato
\frac{1}{3}mL^{2}.

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