Exercício 3: Mostre que o momento de inércia de uma haste uniforme de comprimento
e massa m tende a
, dividindo a haste em 2, 3 e 4 partes.
Passo 1
O enunciado pede para aproximar o momento de inércia de uma haste uniforme de comprimento
e massa
em torno de um eixo passando por uma extremidade, dividindo-a em partes iguais e tratando cada parte como uma partícula concentrada em seu centro. Esse procedimento gera uma soma de “Riemann” para
que, no limite, vale
. Vamos calcular as aproximações com
segmentos e mostrar que elas se aproximam de
.
Passo 2
Dividimos em
partes iguais. Cada parte tem massa
e comprimento
. Os centros ficam a
A soma dos momentos de inércia é
Passo 3
Para
, cada parte tem massa
e comprimento
. Os centros estão em
Então
Passo 4
Para
, cada parte tem massa
e comprimento
. Os centros ficam em
isto é
. Assim
Passo 5
Comparando os valores numéricos:
vemos que, ao aumentar o número de segmentos, a soma aproxima-se de
.
Resposta
Mostra-se que, dividindo a haste em 2, 3 e 4 partes, as aproximações para o momento de inércia são
e todas convergem para o valor exato