A corrente em um condutor cilíndrico longo com raio R=10 \mathrm{~cm} varia com a distância a partir do eixo do cilindro de acordo com a relação I(r)=(50 A / m) r. Encontre o campo magnético em
r=10 \mathrm{~cm}

Passo 1

O problema dá um condutor cilíndrico infinitamente longo de raio R=10\text{ cm}=0{,}1\text{ m} no qual a corrente total até uma distância r do eixo é
I(r)=\bigl(50\\ \mathrm{A/m}\bigr)\,r.
Queremos encontrar o campo magnético em r=R. O método principal será usar a Lei de Ampère para contornos circulares coaxiais com o condutor.

Passo 2

Para aplicar a Lei de Ampère, precisamos do valor da corrente envolvida pelo laço de raio r. Pelo enunciado, essa corrente é
I_{\mathrm{int}}=I(r)=50\,r\quad(\mathrm{A}),
onde r está em metros.

Passo 3

A Lei de Ampère em forma integral diz:
\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l} = \mu_0\,I_{\mathrm{int}}.
Como o problema é simétrico, \mathbf{B} tem módulo constante ao longo de um círculo de raio r e é tangente a ele. Logo,
\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l} = B(r)\,(2\pi r).

Passo 4

Substituindo na Lei de Ampère:
B(r)\,(2\pi r) = \mu_0\,(50\,r).
Cancelando r dos dois lados, obtemos a expressão geral
B(r) = \frac{\mu_0\,50}{2\pi}.

Passo 5

Em particular, para r=R não há mudança no valor, pois r já foi cancelado. Basta inserir \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}:
B(R)=\frac{4\pi\times10^{-7}\times50}{2\pi} =\frac{200\pi\times10^{-7}}{2\pi} =100\times10^{-7} =1\times10^{-5}\\ \mathrm{T}.

Resposta

O campo magnético em r=10\text{ cm} vale
B=1\times10^{-5}\\ \mathrm{T},
no sentido azimutal (circundando o eixo do cilindro, segundo a regra da mão direita).

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