Exercício 2.3 Uma partícula, carregando uma carga positiva de 4 nC , localizada a 5 cm de uma partícula com carga desconhecida q, experimenta uma força elétrica atrativa de magnitude 115,2 \mathrm{~N}.
(a) Determine o valor da carga q.
(b) Usando a relação entre o campo elétrico e a força elétrica e o resultado da parte (a), determine a magnitude e a direção do campo elétrico devido à carga q em um ponto localizado a 20 cm de distância da carga de 4 nC em uma direção ortogonal à linha entre as duas cargas.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos duas partículas, uma com carga Q = 4\,\mathrm{nC} = 4\times10^{-9}\,\mathrm{C} e outra com carga q desconhecida, separadas por r = 5\,\mathrm{cm} = 0{,}05\,\mathrm{m}. A força eletrostática entre elas é atrativa de módulo F = 115{,}2\,\mathrm{N}. Para resolver, usaremos a lei de Coulomb e a definição de campo elétrico.

Passo 2

Aplicando a lei de Coulomb,
F = k\,\frac{|Q\,q|}{r^2},
onde k = 8{,}988\times10^9\,\mathrm{N\cdot m^2/C^2}.
Isolando |q|,
|q| = \frac{F\,r^2}{k\,Q} = \frac{115{,}2\cdot(0,05)^2}{8{,}988\times10^9\cdot4\times10^{-9}} \approx 8{,}01\times10^{-3}\,\mathrm{C}.
Como a força é atrativa e Q>0, concluímos que q é negativa:
q \approx -8{,}01\times10^{-3}\,\mathrm{C}\,.

Passo 3

Queremos o campo elétrico devido a q num ponto P que fica a 0{,}20\,\mathrm{m} de Q numa direção perpendicular à linha que une as cargas. Supondo Q em x=0 e q em x=0{,}05, escolhemos P=(0,\,0{,}20). A distância \rho de q a P é
\rho = \sqrt{(0{,}05)^2 + (0{,}20)^2} \approx0{,}20616\,\mathrm{m}.
O módulo do campo em P é
E = k\,\frac{|q|}{\rho^2} = 8{,}988\times10^9\;\frac{8{,}01\times10^{-3}}{(0{,}20616)^2} \approx1{,}69\times10^9\,\mathrm{N/C}.

Passo 4

Como q é negativa, \vec E aponta de P para q. O versor na direção de P\to q é
\hat u = \frac{(0{,}05\,\mathbf i)+( -0{,}20\,\mathbf j)}{0{,}20616} \approx0{,}242\,\mathbf i \;-\;0{,}970\,\mathbf j.
Logo
\vec E = E\,\hat u \approx1{,}69\times10^9 \bigl(0{,}242\,\mathbf i -0{,}970\,\mathbf j\bigr) \;\mathrm{N/C}.
Geometricamente, isso corresponde a um ângulo
\theta = \arctan\!\bigl(\tfrac{0{,}05}{0{,}20}\bigr) \approx14^\circ
abaixo do eixo y positivo (isto é, apontando em direção a q).

Resposta

(a) q \approx -8{,}01\times10^{-3}\,\mathrm{C}.
(b) \displaystyle E \approx1{,}69\times10^9\,\mathrm{N/C}, apontando em direção a q, num ângulo de cerca de 14^\circ abaixo da perpendicular que sai de Q.

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