Obtenha a matriz do operador linear G: R^2 R^2 dado por
G(x, y)=(2 x-3 y, 4 x+y)
em relação à base B=u1=(1,-2), u2=(2,-5) seguindo estes passos:
(a) Obtenha G(u1) e G(u2), as imagens dos vetores da base.
(b) Escreva cada um dos vetores calculados no item anterior como combinação linear dos vetores da base. Obtenha a matriz de coordenadas desses vetores.
(c) Construa a matriz [G]B com as matrizes de coordenadas do item anterior como colunas.
Considere o vetor v=(4,-3) in R^2
(d) Obtenha [v]B, a matriz de coordenadas de v relativa à base B.
(e) Calcule [G(v)]B=[G]B[v]B
(f) Calcule G(v) a partir das coordenadas do item anterior.

Passo 1

O enunciado nos dá o operador linear
GcolonR^2toR^2, G(x,y)=(2x-3y,;4x+y)
e a base B=,boldsymbol u1=(1,-2),;boldsymbol u2=(2,-5).
Precisamos:
  1. Calcular G(boldsymbol u1) e G(boldsymbol u2).
  2. Expressar essas imagens como combinações lineares de boldsymbol u1,boldsymbol u2 e obter suas coordenadas em B.
  3. Formar a matriz [G]B.
  4. Determinar as coordenadas de boldsymbol v=(4,-3) na base B.
  5. Calcular [G(boldsymbol v)]B por [G]B,[boldsymbol v]B.
  6. Reobter G(boldsymbol v) no sistema canônico.

Passo 2

Calcular diretamente no sistema canônico:
G(boldsymbol u1)=G(1,-2)=(2cdot1-3cdot(-2),;4cdot1+(-2))=(8,2),
G(boldsymbol u2)=G(2,-5)=(2cdot2-3cdot(-5),;4cdot2+(-5))=(19,3)

Passo 3

Para escrever (8,2) em B, achamos alpha1,beta1 tais que
alpha1+!2beta1=8 e -2alpha1-5beta1=2.
Resolvendo, beta1=-18, alpha1=44.
Para (19,3) achamos alpha2,beta2 tais que
alpha2+!2beta2=19 e -2alpha2-5beta2=3.
Resolvendo, beta2=-41, alpha2=101.
Logo as coordenadas são
[G(boldsymbol u1)]B = 44-18, [G(boldsymbol u2)]B = 101-41

Passo 4

A matriz de G em relação a B tem essas colunas:
[G]B = 44 & 101 -18 & -41

Passo 5

Para boldsymbol v=(4,-3), achamos alpha,beta tais que
alpha+2beta=4 e -2alpha-5beta=-3.
Resolvendo, beta=-5, alpha=14.
[boldsymbol v]B = 14-5
Então
[G(boldsymbol v)]B = [G]B,[boldsymbol v]B =44&101-18&-41 14-5 =111-47

Passo 6

Converter de volta ao canônico:
G(boldsymbol v) =111,(1,-2);-;47,(2,-5) =(111-94,;-222+235) =(17,13)

Resposta

[G]B = 44 & 101-18 & -41
[boldsymbol v]B = 14-5
[G(boldsymbol v)]B = 111-47
G(boldsymbol v) = (17,13)

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