Exercício 6: Um átomo excitado de hidrogênio emite um fóton com energia de 1,133 \mathrm{eV}.
Quais são os estados inicial e final deste átomo, antes e após a emissão?

Passo 1

O enunciado dá a energia do fóton emitido: \,1,133\\ \mathrm{eV}\,. Pede-se quais são os estados inicial e final do átomo de hidrogênio antes e após a emissão.
Informações relevantes fornecidas:
\text{energia do fóton } h\nu = 1,133\\ \mathrm{eV}.ó
Procuramos dois níveis ligados do átomo, caracterizados pelos números quânticos principais inteiros \,n_i (inicial) e \,n_f (final), com \,n_i>n_f.

Passo 2

Fórmula básica que vamos usar (energia do nível \,n do hidrogênio):
E_n = -\frac{13,6}{n^2}\\ \mathrm{eV},
onde E_n é a energia do estado com número quântico principal \,n e -13,6\\ \mathrm{eV} é a energia do nível fundamental (n=1).
Quando o átomo passa de \,n_i para \,n_f emitindo um fóton,
h\nu = \Delta E = E_{n_i}-E_{n_f}.
Substituindo a expressão de E_n,
h\nu = 13,6\left(\frac{1}{n_f^2}-\frac{1}{n_i^2}\right)\\ \mathrm{eV}.
Aqui \,h\nu é a energia do fóton dada no enunciado.

Passo 3

Vamos escrever a equação que relaciona \,n_i e \,n_f com a energia do fóton:
1,133 = 13,6\left(\frac{1}{n_f^2}-\frac{1}{n_i^2}\right).
Isolando \,\frac{1}{n_i^2},
\frac{1}{n_i^2}=\frac{1}{n_f^2}-\frac{1,133}{13,6}.
Calculemos a fração numérica
\frac{1,133}{13,6}\approx 0,0833088.

Passo 4

Agora testamos valores inteiros de \,n_f começando por baixo (lembrando que \,n_i também deve ser inteiro e maior que \,n_f).
Teste \,n_f=1:
\frac{1}{n_i^2} = 1 - 0,0833088 = 0,9166912 \quad\Rightarrow\quad n_i^2\approx 1,091,\\ \text{não inteiro}.ã
Portanto \,n_f=1 não funciona.

Passo 5

Teste \,n_f=2:
\frac{1}{n_i^2} = \frac{1}{4} - 0,0833088 = 0,25 - 0,0833088 = 0,1666912 \quad\Rightarrow\quad n_i^2\approx 5,995,\\ \text{não inteiro}.ã
Logo \,n_f=2 não dá \,n_i inteiro.

Passo 6

Teste \,n_f=3:
\frac{1}{n_i^2} = \frac{1}{9} - 0,0833088 \approx 0,1111111 - 0,0833088 = 0,0278023.
Verificamos se isso corresponde a 1/36. Note que
\frac{1}{36}\approx 0,0277778,
muito próximo. Vamos testar o par \,n_i=6, \,n_f=3 exatamente por frações racionais.

Passo 7

Cálculo exato para \,n_i=6 e \,n_f=3:
\frac{1}{n_f^2}-\frac{1}{n_i^2}=\frac{1}{9}-\frac{1}{36}=\frac{4-1}{36}=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}.
Então a energia do fóton prevista é
h\nu = 13,6\cdot\frac{1}{12} = \frac{13,6}{12} = 1,133\overline{3}\\ \mathrm{eV}.
Isso corresponde a \,1,133\\ \mathrm{eV} dentro do arredondamento do enunciado. Portanto o par inteiro que explica a emissão é \,n_i=6 para o estado inicial e \,n_f=3 para o estado final.

Passo 8

Podemos argumentar que, para valores maiores de \,n_f (por exemplo \,n_f\ge 4), a diferença \,\frac{1}{n_f^2}-\frac{1}{n_i^2} seria ainda menor e levaria a \,n_i não inteiro ou menor que \,n_f; o par (6,3) é o que dá igualdade (considerando que a energia dada tem três casas significativas). Assim a transição única compatível é de \,n=6 para \,n=3.

Resposta

Estado inicial: n=6
Estado final: n=3

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