Exercício 6.8.8. Estudar a diagonalizabilidade dos operadores em \mathbb{R}^{2} e \mathbb{R}^{3} que possuem as seguintes matrizes representativas nas bases canônicas, ao variar do parâmetro a \in \mathbb{R} :
\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\\ a & 2 \end{array}\right), \quad\left(\begin{array}{ccc} a & 0 & 1 \\\ a & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1-a \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para estudar quando, variando a\in\mathbb{R}, as matrizes
A = \begin{pmatrix}1 & 1 \\\ a & 2\end{pmatrix}
em \mathbb{R}^2 e
B = \begin{pmatrix}a & 0 & 1 \\\ a & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1-a\end{pmatrix}
em \mathbb{R}^3 são diagonalizáveis sobre \mathbb{R}. Vamos usar o polinômio característico para achar autovalores e depois comparar multiplicidade algébrica e geométrica.

Passo 2

Para A, o polinômio característico é
\det(A - \lambda I) = (1-\lambda)(2-\lambda)-a = \lambda^2 -3\lambda + (2 - a).
O discriminante vale
\Delta = (-3)^2 -4\cdot1\cdot(2-a) = 9 -8 +4a = 1 + 4a.
Autovalores reais e distintos ocorrem se \Delta>0, isto é, se
1+4a > 0 \iff a > -\tfrac14.

Passo 3

Quando a > -\tfrac14, A tem dois autovalores reais distintos, logo é diagonalizável. Se a = -\tfrac14, os autovalores coincidem ( \Delta=0) e a multiplicidade geométrica é 1, então não é diagonalizável. Se a < -\tfrac14, os autovalores são complexos e não há base real de autovetores.

Passo 4

Para B, o bloco 2\times2 no canto superior dá autovalores \lambda=a e \lambda=1, e o bloco de 1\times1 \lambda=1-a. Assim os autovalores são
\{\,a,\;1,\;1-a\}.
Se os três são distintos, B é imediatamente diagonalizável. As colisões possíveis são:
  • a=1, então os autovalores são \{1,1,0\}. A multiplicidade geométrica de \lambda=1 é 1, falha de diagonalização.
  • a=\tfrac12, então \{\,\tfrac12,1,\tfrac12\}. A multiplicidade geométrica de \lambda=\tfrac12 é 1, falha.
  • a=0, então \{0,1,1\}. Neste caso a multiplicidade geométrica de \lambda=1 é 2, bate com a algébrica, e B é diagonalizável.

Passo 5

Conclusão para B: é diagonalizável sempre que não ocorrer falha acima, isto é, para todo a\neq1 e a\neq\tfrac12.

Resposta

Para A: diagonalizável em \mathbb{R}^2 se, e somente se,
a > -\tfrac14.
Para B: diagonalizável em \mathbb{R}^3 se, e somente se,
a \neq 1 \quad\text{e}\quad a \neq \tfrac12.

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