Exercício 6.8.7. Em \mathbb{R}^{3} com base canônica \mathcal{B}_{3}=\left\{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}\right\} :
a) escrever a matriz representativa do operador A: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} tal que
A\left(\mathbf{e}_{1}\right)=4 \mathbf{e}_{1}+5 \mathbf{e}_{2}, A\left(\mathbf{e}_{2}\right)=10 \mathbf{e}_{1}-\mathbf{e}_{2}, A\left(\mathbf{e}_{3}\right)=-5 \mathbf{e}_{1}+5 \mathbf{e}_{2}+9 \mathbf{e}_{3}
b) calcular os autovalores de A e determinar os relativos auto-espaços.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas em \mathbb{R}^{3} com a base canônica \mathcal{B}_{3}=\{\mathbf{e}_{1},\mathbf{e}_{2},\mathbf{e}_{3}\}:
a) encontrar a matriz de um operador linear A cujas imagens dos vetores da base são dadas;
b) calcular os autovalores de A e determinar os autoespaços correspondentes.
Conteúdo envolvido: representação matricial em base canônica, polinômio característico, cálculo de autovalores e resolução de sistemas lineares para obter autoespaços.

Passo 2

Para escrever a matriz de A na base canônica, colocamos em cada coluna as coordenadas de A(\mathbf{e}_j). Temos
A(\mathbf{e}_{1}) = 4\,\mathbf{e}_{1} +5\,\mathbf{e}_{2} \quad\Longrightarrow\quad \text{1ª coluna} = \begin{pmatrix}4\\\ 5\\\ 0\end{pmatrix},ª
A(\mathbf{e}_{2}) = 10\,\mathbf{e}_{1} -1\,\mathbf{e}_{2} \quad\Longrightarrow\quad \text{2ª coluna} = \begin{pmatrix}10\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix},ª
A(\mathbf{e}_{3}) = -5\,\mathbf{e}_{1} +5\,\mathbf{e}_{2} +9\,\mathbf{e}_{3} \quad\Longrightarrow\quad \text{3ª coluna} = \begin{pmatrix}-5\\\ 5\\\ 9\end{pmatrix}.ª
Logo,
A = \begin{pmatrix} 4 & 10 & -5\\\\ 5 & -1 & 5\\\\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos o polinômio característico \det(A - \lambda I). Como há bloco triangular na 3ª linha/coluna,
\det(A - \lambda I) = (9-\lambda)\,\det\begin{pmatrix}4-\lambda & 10\\[4pt]5 & -1-\lambda\end{pmatrix}.
A parte 2\times2
(4-\lambda)(-1-\lambda) - 5\cdot10 = \lambda^2 -3\lambda -4 -50 = \lambda^2 -3\lambda -54.
Então
\det(A - \lambda I) = (9-\lambda)\bigl(\lambda^2 -3\lambda -54\bigr) = (9-\lambda)(\lambda-9)(\lambda+6).
Os autovalores são \lambda=9 (multiplicidade algébrica 2) e \lambda=-6 (multiplicidade 1).]

Passo 4

Autoespaço para \lambda=9. Resolvemos (A-9I)\mathbf{x}=\mathbf{0}, i.e.
\begin{pmatrix} -5 & 10 & -5\\\\ 5 & -10 & 5\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Só há uma equação independente: -5x+10y-5z=0, ou seja x-2y+z=0.
Tomando y=s, z=t, obtemos x=2s-t.
Portanto
E_{9}(A)=\bigl\{(2s-t,s,t)\mid s,t\in\mathbb{R}\bigr\} =\mathrm{span}\{(2,1,0),\,(-1,0,1)\}.

Passo 5

Autoespaço para \lambda=-6. Resolvemos (A+6I)\mathbf{x}=\mathbf{0}, i.e.
\begin{pmatrix} 10 & 10 & -5\\\\ 5 & 5 & 5\\\\ 0 & 0 & 15 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =\mathbf{0}.
A terceira equação dá z=0. As demais reduzem a x+y=0. Logo y=-x e
E_{-6}(A)=\{(x,-x,0)\mid x\in\mathbb{R}\} =\mathrm{span}\{(1,-1,0)\}.

Resposta

a) A matriz de A na base canônica é
A = \begin{pmatrix} 4 & 10 & -5\\\\ 5 & -1 & 5\\\\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix}.
b) Os autovalores e autoespaços são
\lambda_{1}=9,\quad E_{9}(A)=\mathrm{span}\{(2,1,0),\,(-1,0,1)\},
\lambda_{2}=-6,\quad E_{-6}(A)=\mathrm{span}\{(1,-1,0)\}.

Exercícios relacionados