Exercício 6.8.7. Em \mathbb{R}^{3} com base canônica \mathcal{B}_{3}=\left\{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}\right\} :
a) escrever a matriz representativa do operador A: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} tal que
b) calcular os autovalores de A e determinar os relativos auto-espaços.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas em \mathbb{R}^{3} com a base canônica \mathcal{B}_{3}=\{\mathbf{e}_{1},\mathbf{e}_{2},\mathbf{e}_{3}\}:
a) encontrar a matriz de um operador linear A cujas imagens dos vetores da base são dadas;
b) calcular os autovalores de A e determinar os autoespaços correspondentes.
Conteúdo envolvido: representação matricial em base canônica, polinômio característico, cálculo de autovalores e resolução de sistemas lineares para obter autoespaços.
Passo 2
Para escrever a matriz de A na base canônica, colocamos em cada coluna as coordenadas de A(\mathbf{e}_j). Temos