Exercício 6.8.6. Determinar o valor do parâmetro real k para o qual o operador em \mathbb{R}^{3} que possui a seguinte matriz representativa na base canônica
possui o autovalor \lambda=0 com multiplicidade algébrica 2. Para tal valor do parâmetro calcular os auto-espaços e dizer se o operador é diagonalizável.
Passo 1
O enunciado pede para achar o valor de k tal que o operador de matriz
tenha o autovalor \lambda=0 com multiplicidade algébrica 2. Isso envolve calcular o polinômio característico de A, forçar \lambda=0 a ser raiz dupla e, em seguida, para esse k, determinar os auto-espaços e checar se o operador é diagonalizável.
Para diagonalizar, a soma das dimensões dos autoespaços deve ser 3. Aqui \dim E_{0}=1 e \dim E_{2}=1, totalizando 2, que é menor que 3. Portanto o operador não é diagonalizável.