Exercício 6.8.6. Determinar o valor do parâmetro real k para o qual o operador em \mathbb{R}^{3} que possui a seguinte matriz representativa na base canônica
\left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 2 \\\\ 1 & 0 & k \end{array}\right)
possui o autovalor \lambda=0 com multiplicidade algébrica 2. Para tal valor do parâmetro calcular os auto-espaços e dizer se o operador é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado pede para achar o valor de k tal que o operador de matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 2\\\\ 1 & 0 & k \end{pmatrix}
tenha o autovalor \lambda=0 com multiplicidade algébrica 2. Isso envolve calcular o polinômio característico de A, forçar \lambda=0 a ser raiz dupla e, em seguida, para esse k, determinar os auto-espaços e checar se o operador é diagonalizável.

Passo 2

Vamos obter o polinômio característico de A. Como
\det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 0 & 1\\\\ 0 & -\lambda & 2\\\\ 1 & 0 & k-\lambda \end{pmatrix},
expandindo pela segunda coluna, só o elemento -\lambda da linha 2 contribui:
\det(A-\lambda I) =-\lambda\det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 1\\\\ 1 & k-\lambda \end{pmatrix} =-\lambda\bigl((1-\lambda)(k-\lambda)-1\bigr).
Portanto o polinômio característico é
p(\lambda)=-\lambda\bigl(\lambda^2-(k+1)\lambda+(k-1)\bigr).

Passo 3

Para que \lambda=0 seja raiz de multiplicidade algébrica 2, o fator quadrático em p(\lambda) deve anular em \lambda=0:
0^2-(k+1)\cdot 0+(k-1)=0 \quad\Longrightarrow\quad k-1=0 \quad\Longrightarrow\quad k=1.
Com k=1, o polinômio torna-se p(\lambda)=-\lambda(\lambda^2-2\lambda), i.e.\ \lambda \cdot \lambda \cdot (\lambda-2).

Passo 4

Para k=1\), a matriz é \[A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 2\\\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
O autoespaço associado a \lambda=0 é \ker(A), isto é, resolver
A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}
gera o sistema
\begin{cases} x+z=0,\\\\ 2z=0,\\\ x+z=0. \end{cases}
Da segunda equação vem z=0\] e daí \(x=0, sem restrição em y. Logo
E_{0}=\ker(A) =\bigl\{(0,y,0)\mid y\in\mathbb{R}\bigr\} =\mathrm{span}\{(0,1,0)\}.

Passo 5

O outro autovalor distinto é \lambda=2\). Para formar o autoespaço correspondente, resolvemos \[(A-2I)v=0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1\\\\ 0 & -2 & 2\\\\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =0.
Isso dá
\begin{cases} -z+x=0,\\\\ -2y+2z=0, \end{cases}
isto é z=x\] e \(y=x. Assim
E_{2} =\bigl\{(x,x,x)\mid x\in\mathbb{R}\bigr\} =\mathrm{span}\{(1,1,1)\}.

Passo 6

Para diagonalizar, a soma das dimensões dos autoespaços deve ser 3. Aqui \dim E_{0}=1 e \dim E_{2}=1, totalizando 2, que é menor que 3. Portanto o operador não é diagonalizável.

Resposta

k=1 E_{0}=\{(0,y,0)\mid y\in\mathbb{R}\}=\mathrm{span}\{(0,1,0)\} E_{2}=\{(x,x,x)\mid x\in\mathbb{R}\}=\mathrm{span}\{(1,1,1)\}
O operador não é diagonalizável.

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