A expressão fechada \dfrac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} vale para todos os pontos diferentes da origem.
No ponto (0,0) a função é definida separadamente como 0.]
Passo 2
Lembrete didático rápido sobre diferenciabilidade (do jeitinho amigo):
Uma função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} é diferenciável num ponto (a,b) se existe uma aplicação linear (a matriz gradiente) que aproxime f localmente, isto é, se
f(a+h,b+k)=f(a,b)+L(h,k)+o(\sqrt{h^{2}+k^{2}}),
onde L(h,k) é a forma linear L(h,k)=f_x(a,b)\,h+f_y(a,b)\,k e o(\cdot) é um resto que é muito menor que \sqrt{h^{2}+k^{2}} quando (h,k)\to(0,0).
Se f é diferenciável num ponto então ela é necessariamente contínua nesse ponto. Portanto, uma maneira rápida de mostrar que não é diferenciável num ponto é mostrar que não é contínua aí.
Passo 3
Diferenciabilidade para (x,y)\neq(0,0).
Explicação didática: fora da origem a expressão \sqrt{x^{2}+y^{2}} é positiva e as operações de soma, raiz e divisão por quantidade não nula preservam a diferenciabilidade. Formalmente, a função pode ser escrita como
f(x,y)=y\cdot (x^{2}+y^{2})^{-1/2},
e é produto/composição de funções suaves em \mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}. Logo, f é diferenciável (na verdade C^\infty) em todo ponto (x,y)\neq(0,0).
Para fixar a intuição e mostrar as derivadas parciais explícitas (útil na prova), calculemos-as passo a passo usando regra do produto e da cadeia. Tomando g(x,y)=(x^{2}+y^{2})^{-1/2}, temos
f(x,y)=y\cdot g(x,y).
Calcule \partial_x g e \partial_y g:
\partial_x g = -\tfrac{1}{2}(x^{2}+y^{2})^{-3/2}\cdot 2x = -x(x^{2}+y^{2})^{-3/2},
\partial_y g = -\tfrac{1}{2}(x^{2}+y^{2})^{-3/2}\cdot 2y = -y(x^{2}+y^{2})^{-3/2}.
Agora as derivadas de f:
\partial_x f = y\cdot \partial_x g = y\cdot\bigl(-x(x^{2}+y^{2})^{-3/2}\bigr) = -\dfrac{xy}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}},
\partial_y f = 1\cdot g + y\cdot \partial_y g = (x^{2}+y^{2})^{-1/2} + y\cdot\bigl(-y(x^{2}+y^{2})^{-3/2}\bigr) = \dfrac{x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}.
Essas expressões são contínuas fora da origem, confirmando que f é C^1 (e portanto diferenciável) em todo ponto (x,y)\neq(0,0).
Passo 4
Comportamento em (0,0): primeiro testar continuidade.
Didática: verificar continuidade em (0,0) significa checar se \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) existe e é igual a f(0,0)=0.
Use um caminho simples: aproximar pela reta y=mx com m fixo. Para x\neq0,
Por exemplo, escolhendo m=1 (a reta y=x) a aproximação pelo lado x\to0^{+} dá \dfrac{1}{\sqrt{2}}. Já aproximando pela reta y=0 (ou seja, m=0) obtemos 0. Como esses limites são diferentes, a função não tem limite único quando (x,y)\to(0,0). Conclusão: f não é contínua em (0,0). Como diferenciabilidade implica continuidade, f não pode ser diferenciável em (0,0).
Observação intuitiva (útil para a prova): em coordenadas polares (r,\theta) com x=r\cos\theta,\\ y=r\sin\theta, a fórmula vira
que diverge para h\to0. Portanto \partial_y f(0,0) não existe (o limite não existe, tende a +\infty).
Portanto, mesmo as derivadas parciais não estão ambas definidas em (0,0) (só \partial_x existe e vale 0), o que reforça que f não é diferenciável em (0,0).
Passo 6
Conclusão final explicada de forma prática e direta:
Para (x,y)\neq(0,0): f é diferenciável (é C^\infty) — justificativa: expressão composta por operações diferenciáveis e denominador não nulo; as derivadas parciais foram calculadas explicitamente.
Em (0,0): f não é contínua (os limites ao aproximar por direções diferentes dão valores diferentes), logo não é diferenciável; adicionalmente \partial_y f(0,0) não existe.
Força aí — é normal essa questão travar no começo, mas o truque principal é perceber que a expressão depende só do ângulo (é \sin\theta em coordenadas polares), por isso o comportamento na origem é oscilante e impede diferenciabilidade.
Resposta
f é diferenciável em todo ponto (x,y)\neq(0,0) e não é diferenciável em (0,0).