Exercício 11 Mostre que a transformação f(x, y)=\left(\frac{x}{2}, \frac{y}{3}\right), transforma a elipse 9 x^{2}+4 y^{2}=36 no círculo unitário centro na origem.

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação e a curva a transformar. Especificamente:
  • Transformação: f(x,y)=\left(\dfrac{x}{2},\dfrac{y}{3}\right).
  • Elipse dada: 9x^{2}+4y^{2}=36.
O que o exercício pede: mostrar que, aplicando f a pontos da elipse, obtém-se o círculo unitário centrado na origem. Em outras palavras, provar que a imagem da elipse por f é o conjunto \{(u,v)\in\mathbb{R}^{2}\mid u^{2}+v^{2}=1\}.

Passo 2

Vamos introduzir uma notação conveniente para trabalhar: chame
(u,v)=f(x,y)=\left(\frac{x}{2},\frac{y}{3}\right).
Isto significa, por definição de f, que
u=\frac{x}{2},\qquad v=\frac{y}{3}.
Daqui podemos resolver para x e y em função de u e v: multiplicando as igualdades por 2 e por 3, obtemos
x=2u,\qquad y=3v.
Esta é a relação inversa simples que nos permite substituir numa equação dada em x,y.

Passo 3

Agora substituímos x=2u e y=3v na equação da elipse 9x^{2}+4y^{2}=36. Primeiro escrevemos a substituição em forma de conta:
9x^{2}+4y^{2}=9(2u)^{2}+4(3v)^{2}.
Calculemos cada termo com calma:
(2u)^{2}=4u^{2}\quad\Rightarrow\quad 9(2u)^{2}=9\cdot4u^{2}=36u^{2},
(3v)^{2}=9v^{2}\quad\Rightarrow\quad 4(3v)^{2}=4\cdot9v^{2}=36v^{2}.
Somando os dois termos:
9(2u)^{2}+4(3v)^{2}=36u^{2}+36v^{2}=36(u^{2}+v^{2}).

Passo 4

A identidade anterior nos dá
36(u^{2}+v^{2})=36.
Dividindo ambos os lados por 36 (número diferente de zero) obtemos
u^{2}+v^{2}=1.
Isto mostra que, para qualquer ponto (x,y) que satisfaça a equação da elipse, o ponto (u,v)=f(x,y) satisfaz a equação do círculo unitário. Portanto a imagem da elipse por f está contida no círculo unitário.

Passo 5

Para completar a equivalência (mostrar que a imagem é exatamente o círculo, não apenas um subconjunto), tomemos um ponto qualquer (u,v) com
u^{2}+v^{2}=1.
Definindo x=2u e y=3v (isto é, aplicando a inversa formal que já vimos), verificamos que
9x^{2}+4y^{2}=9(2u)^{2}+4(3v)^{2}=36(u^{2}+v^{2})=36\cdot1=36,
ou seja, (x,y) pertence à elipse. Assim, para todo (u,v) no círculo unitário existe (x,y) na elipse tal que f(x,y)=(u,v). Logo a imagem da elipse por f é exatamente o círculo unitário.

Passo 6

Interpretação geométrica e observação final: a transformação f é um alongamento/contração nos eixos — reduz x por um fator 2 e y por um fator 3. Esse escalonamento torna os semi-eixos da elipse iguais (ao dividir x por 2 e y por 3 os termos quadráticos passam a ter o mesmo coeficiente), produzindo um círculo de raio 1 centrado na origem.

Resposta

A imagem da elipse 9x^{2}+4y^{2}=36 pela transformação f(x,y)=\left(\dfrac{x}{2},\dfrac{y}{3}\right) é o círculo unitário \{(u,v)\in\mathbb{R}^{2}\mid u^{2}+v^{2}=1\}.

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