Exercício 11 Mostre que a transformação
, transforma a elipse
no círculo unitário centro na origem.
Passo 1
O enunciado nos dá a transformação e a curva a transformar. Especificamente:
- Transformação:
. - Elipse dada:
.
O que o exercício pede: mostrar que, aplicando
a pontos da elipse, obtém-se o círculo unitário centrado na origem. Em outras palavras, provar que a imagem da elipse por
é o conjunto
.
Passo 2
Vamos introduzir uma notação conveniente para trabalhar: chame
Isto significa, por definição de
, que
Daqui podemos resolver para
e
em função de
e
: multiplicando as igualdades por
e por
, obtemos
Esta é a relação inversa simples que nos permite substituir numa equação dada em
.
Passo 3
Agora substituímos
e
na equação da elipse
. Primeiro escrevemos a substituição em forma de conta:
Calculemos cada termo com calma:
Somando os dois termos:
Passo 4
A identidade anterior nos dá
Dividindo ambos os lados por
(número diferente de zero) obtemos
Isto mostra que, para qualquer ponto
que satisfaça a equação da elipse, o ponto
satisfaz a equação do círculo unitário. Portanto a imagem da elipse por
está contida no círculo unitário.
Passo 5
Para completar a equivalência (mostrar que a imagem é exatamente o círculo, não apenas um subconjunto), tomemos um ponto qualquer
com
Definindo
e
(isto é, aplicando a inversa formal que já vimos), verificamos que
ou seja,
pertence à elipse. Assim, para todo
no círculo unitário existe
na elipse tal que
. Logo a imagem da elipse por
é exatamente o círculo unitário.
Passo 6
Interpretação geométrica e observação final: a transformação
é um alongamento/contração nos eixos — reduz
por um fator
e
por um fator
. Esse escalonamento torna os semi-eixos da elipse iguais (ao dividir
por
e
por
os termos quadráticos passam a ter o mesmo coeficiente), produzindo um círculo de raio
centrado na origem.
Resposta
A imagem da elipse
pela transformação
é o círculo unitário
.