Exercício 12 Assuma que f: D \subset \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} dada por f(x, y)=x^{3} y^{2}, seja integrável em D=[0,1] \times[0,1]. Usando a mesma ideia desenvolvida no exemplo 2 da videoaula 9, calcule
\iint_{D} f(x, y) d x d y .
Passo 1
O enunciado dá a função f: D \subset \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} definida por f(x,y)=x^{3}y^{2} e informa que ela é integrável no retângulo D=[0,1]\times[0,1]. A tarefa é calcular a integral dupla
\iint_{D} f(x,y)\,dx\,dy.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Região de integração: D=[0,1]\times[0,1].
Função a integrar: f(x,y)=x^{3}y^{2}.
Foi dito que f é integrável em D (logo podemos usar integrais iteradas / Teorema de Fubini).
Passo 2
Ideia principal para resolver (explicação didática e motivação): quando uma função f(x,y) é contínua (ou integrável suficiente) num retângulo como D, o Teorema de Fubini permite calcular a integral dupla por integrais iteradas. Isso significa que
Além disso, se f(x,y) separa em produto de uma função só de x e outra só de y, isto é, f(x,y)=g(x)\,h(y), então a integral dupla sobre o retângulo fatoriza:
No nosso caso f(x,y)=x^{3}y^{2} é exatamente desse tipo, com g(x)=x^{3} e h(y)=y^{2}. Portanto podemos reduzir a integral dupla ao produto de duas integrais simples.
Passo 3
Calcular a integral em x:
explicando a regra prática para integrar potências: para n\neq -1 vale
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=3, então uma primitiva de x^{3} é \dfrac{x^{4}}{4}. Avaliando no intervalo [0,1] obtemos
(Como verificação alternativa: calcular a integral iterada diretamente, por exemplo \int_{0}^{1}\big(\int_{0}^{1} x^{3}y^{2}\,dx\big)dy. No interior y é constante e sai da integral em x, dando y^{2}\int_{0}^{1}x^{3}dx=y^{2}\cdot\frac{1}{4}. Integrando em y obtém-se \frac{1}{4}\int_{0}^{1}y^{2}dy=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{3}, o mesmo que acima.)
Passo 6
Conclusão final: simplificar o produto obtido no passo anterior para obter o valor numérico final da integral.