Exercício 12 Assuma que f: D \subset \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} dada por f(x, y)=x^{3} y^{2}, seja integrável em D=[0,1] \times[0,1]. Usando a mesma ideia desenvolvida no exemplo 2 da videoaula 9, calcule
\iint_{D} f(x, y) d x d y .

Passo 1

O enunciado dá a função f: D \subset \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} definida por f(x,y)=x^{3}y^{2} e informa que ela é integrável no retângulo D=[0,1]\times[0,1]. A tarefa é calcular a integral dupla
\iint_{D} f(x,y)\,dx\,dy.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Região de integração: D=[0,1]\times[0,1].
  • Função a integrar: f(x,y)=x^{3}y^{2}.
  • Foi dito que f é integrável em D (logo podemos usar integrais iteradas / Teorema de Fubini).

Passo 2

Ideia principal para resolver (explicação didática e motivação): quando uma função f(x,y) é contínua (ou integrável suficiente) num retângulo como D, o Teorema de Fubini permite calcular a integral dupla por integrais iteradas. Isso significa que
\iint_{D} f(x,y)\,dx\,dy = \int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{1} f(x,y)\,dx\right)dy = \int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{1} f(x,y)\,dy\right)dx.
Além disso, se f(x,y) separa em produto de uma função só de x e outra só de y, isto é, f(x,y)=g(x)\,h(y), então a integral dupla sobre o retângulo fatoriza:
\iint_{D} g(x)h(y)\,dx\,dy = \left(\int_{0}^{1} g(x)\,dx\right)\left(\int_{0}^{1} h(y)\,dy\right).
No nosso caso f(x,y)=x^{3}y^{2} é exatamente desse tipo, com g(x)=x^{3} e h(y)=y^{2}. Portanto podemos reduzir a integral dupla ao produto de duas integrais simples.

Passo 3

Calcular a integral em x:
explicando a regra prática para integrar potências: para n\neq -1 vale
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=3, então uma primitiva de x^{3} é \dfrac{x^{4}}{4}. Avaliando no intervalo [0,1] obtemos
\int_{0}^{1} x^{3}\,dx=\left.\frac{x^{4}}{4}\right|_{0}^{1}=\frac{1^{4}}{4}-\frac{0^{4}}{4}=\frac{1}{4}.
Explicação passo a passo: elevar x a 3 aumenta o expoente para 4 e divide pelo novo expoente; depois substitui os limites 1 e 0 e subtrai.

Passo 4

Calcular a integral em y (mesma regra, com n=2):
uma primitiva de y^{2} é \dfrac{y^{3}}{3}. Avaliando em [0,1]:
\int_{0}^{1} y^{2}\,dy=\left.\frac{y^{3}}{3}\right|_{0}^{1}=\frac{1^{3}}{3}-\frac{0^{3}}{3}=\frac{1}{3}.
Novamente, elevou-se o expoente e dividiu-se pelo novo expoente, depois aplicou-se os limites.

Passo 5

Usando a fatorização explicada no Passo 2, a integral dupla é o produto das integrais calculadas:
\iint_{D} x^{3}y^{2}\,dx\,dy = \left(\int_{0}^{1} x^{3}\,dx\right)\left(\int_{0}^{1} y^{2}\,dy\right) = \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{3}.
(Como verificação alternativa: calcular a integral iterada diretamente, por exemplo \int_{0}^{1}\big(\int_{0}^{1} x^{3}y^{2}\,dx\big)dy. No interior y é constante e sai da integral em x, dando y^{2}\int_{0}^{1}x^{3}dx=y^{2}\cdot\frac{1}{4}. Integrando em y obtém-se \frac{1}{4}\int_{0}^{1}y^{2}dy=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{3}, o mesmo que acima.)

Passo 6

Conclusão final: simplificar o produto obtido no passo anterior para obter o valor numérico final da integral.

Resposta

\dfrac{1}{12}

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