Exercício 3) Estude a existência dos seguintes limites:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2} \operatorname{tg}\left(x^{2}+y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}};

Passo 1

O enunciado pede para estudar a existência de
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}\,\tan\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)}{x^{2}+y^{2}}.
O que vamos precisar: conhecer o comportamento de \tan u quando u\to0 (sabendo que \tan u\sim u) e usar coordenadas polares para ver se o resultado independe da direção de chegada.

Passo 2

Passamos para coordenadas polares, x=r\cos\theta, y=r\sin\theta. Então
x^{2}+y^{2}=r^{2},
e o numerador fica
x^{2}\,\tan\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr) = r^{2}\cos^{2}\theta\;\tan\bigl(r^{2}\bigr).
Logo a função torna-se
f(r,\theta) =\frac{r^{2}\cos^{2}\theta\;\tan\bigl(r^{2}\bigr)}{r^{2}} =\cos^{2}\theta\;\tan\bigl(r^{2}\bigr).

Passo 3

Como \lim_{u\to0}\tan(u)=0, temos \tan(r^{2})\to0 quando r\to0. Além disso \bigl|\cos^{2}\theta\bigr|\le1, então
\bigl|f(r,\theta)\bigr| =\bigl|\cos^{2}\theta\;\tan(r^{2})\bigr| \le\bigl|\tan(r^{2})\bigr| \;\xrightarrow[r\to0]{}\;0.
Pelo critério do aperto, f(r,\theta)\to0 independentemente de \theta. Portanto o limite existe e vale 0.

Resposta

O limite é 0.

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