A velocidade de uma partícula é dada por: \vec{v}(t)=(2 t+A) \hat{i}+\left(B t^{2}+t\right) \hat{j}, onde v está em metros por segundo, t em segundos, e onde A e B são constantes.
a) Quais são as dimensões de A e B ?;
b) Sabendo que em t=0 o módulo da velocidade é 1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, e em t=1 \mathrm{~s} o vetor velocidade forma um ângulo \theta=53^{\circ} com a horizontal, determine os valores de A e B;
c) Qual a expressão, em função do tempo, da aceleração desta partícula?;
d) Sabendo que a partícula sai da origem em t=0 \mathrm{~s}, qual é o seu vetor posição em t=2 \mathrm{~s} ?
Na resolução desta questão tome \cos 53^{\circ}=3 / 5 e \sin 53^{\circ}=4 / 5.

Passo 1

O enunciado dá a velocidade
\displaystyle \vec v(t)=(2t + A)\,\hat\imath + \bigl(B\,t^2 + t\bigr)\,\hat\jmath
com t em segundos e \vec v em metros por segundo. Pede-se:
a) dimensões (unidades) de A e B;
b) usando \lvert\vec v(0)\rvert=1 m/s e, em t=1, o ângulo \theta=53^\circ com a horizontal, achar A e B;
c) expressão de \vec a(t);
d) \vec r(2) sabendo \vec r(0)=\vec0.
Vamos usar análise de unidades, definição de módulo e ângulo de vetor, derivação e integração de componentes.

Passo 2

Para que (2t + A) tenha dimensão de velocidade (m/s), o termo 2t já é m/s, logo A também deve ser m/s.
Para que (B\,t^2 + t) seja m/s, o termo B\,t^2 tem de dar m/s quando t em s, então B tem unidade m/s ^3.

Passo 3

Em t=0 temos
\vec v(0) = (A)\,\hat\imath + (0)\,\hat\jmath,
de modo que \lvert\vec v(0)\rvert=|A|=1, isto é, A=\pm1.
Em t=1
\vec v(1) = (2 + A)\,\hat\imath + (B + 1)\,\hat\jmath,
e o ângulo \theta satisfaz
\tan\theta = \frac{B+1}{2+A} = \tan53^\circ = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}.
Se escolhermos A=1 (sentido positivo em x), então
\frac{B+1}{2+1} = \frac{B+1}{3} = \frac{4}{3} \quad\Longrightarrow\quad B+1=4 \quad\Longrightarrow\quad B=3.

Passo 4

A aceleração é \vec a(t)=\dfrac{d\vec v}{dt}. Derivando componente a componente, obtemos
a_x(t) = \frac{d}{dt}(2t + A) = 2, \qquad a_y(t) = \frac{d}{dt}\bigl(B\,t^2 + t\bigr) = 2B\,t + 1.
Com B=3 isso fica
\vec a(t) = 2\,\hat\imath + (6\,t + 1)\,\hat\jmath.

Passo 5

A posição \vec r(t) satisfaz \dfrac{d\vec r}{dt}=\vec v(t) e \vec r(0)=\vec0.
Para a componente x:
r_x(t) = \int (2t + A)\,dt = t^2 + A\,t + C_x,
como r_x(0)=0 C_x=0. Com A=1:
r_x(t) = t^2 + t.
Para a componente y:
r_y(t) = \int (B\,t^2 + t)\,dt = \frac{B}{3}\,t^3 + \frac{t^2}{2} + C_y,
e r_y(0)=0 implica C_y=0. Com B=3:
r_y(t) = t^3 + \frac{t^2}{2}.
Em t=2:
r_x(2)=2^2+2=6, \qquad r_y(2)=8+\frac{4}{2}=10,
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\vec r(2) = 6\,\hat\imath + 10\,\hat\jmath.

Resposta

a) \,[A]=\mathrm{m/s},\quad [B]=\mathrm{m/s^3}.
b) A=1 m/s,\quad B=3 m/s ^3.
c) \displaystyle \vec a(t)=2\,\hat\imath+(6t+1)\,\hat\jmath.
d) \displaystyle \vec r(2)=6\,\hat\imath+10\,\hat\jmath.

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