Exercício 3) Estude a existência dos seguintes limites:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}-y^{2}}{4+x^{2}+y^{2}};

Passo 1

O enunciado pede para estudar a existência do limite
\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}-y^{2}}{4+x^{2}+y^{2}}.
O conteúdo é limite de função de duas variáveis em um ponto onde o denominador nunca zera. Vamos usar coordenadas polares para verificar se o limite existe e qual é o seu valor.

Passo 2

Em coordenadas polares, definimos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad r\ge0,\quad 0\le\theta<2\pi.
Então
x^{2}-y^{2} = r^{2}(\cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta) \quad\text{e}\quad 4 + x^{2} + y^{2} = 4 + r^{2}.
Logo a função fica
\frac{x^{2}-y^{2}}{4+x^{2}+y^{2}} = \frac{r^{2}(\cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta)}{4 + r^{2}}.

Passo 3

Observando que |\cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta| = |\cos(2\theta)| \le 1, temos
\left|\frac{r^{2}(\cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta)}{4 + r^{2}}\right| \le \frac{r^{2}}{4 + r^{2}}.
Como r\to0,
\frac{r^{2}}{4 + r^{2}} \;\to\; 0.
Pelo Teorema do Confronto, o valor absoluto da nossa função tende a zero, logo a própria função tende a zero.

Resposta

O limite existe e vale 0.

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