Exercício 7. Estude o sinal da função racional
, cuja lei de formação é
.
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos estudar o sinal da função racional
O conteúdo é análise de sinal de funções racionais. Para resolver vamos precisar determinar o domínio, as raízes do numerador e do denominador, e montar o quadro de sinais.
Passo 2
Primeiro, identificamos o denominador e seu zero. Note que
logo a única raiz é
. Portanto o domínio é
Passo 3
Em seguida, achamos a raiz do numerador. Temos
Assim
apenas em
.
Passo 4
Agora, analisamos o sinal de cada fator em cada intervalo:
- O fator
é negativo para e positivo para . - O fator
é sempre positivo em todo o domínio (é um quadrado), sem trocar de sinal, e se anula em (ponto excluído).
Passo 5
Como o denominador é sempre positivo onde definido, o sinal de
coincide com o sinal de
. Montando o quadro:
Para
: temos
, logo
e
.
Em : ponto de descontinuidade (assíntota vertical).
Para : ainda
, então
e
.
Em :
.
Para :
e
.
Em
Para
Em
Para
Resposta
O domínio é
.
para
.
.
para
.
Em há assíntota vertical.
Em