Exercício 7. Estude o sinal da função racional f, cuja lei de formação é f(x)=2 x-5x^2-2 x+1.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos estudar o sinal da função racional
f(x)=2x-5x^2-2x+1
O conteúdo é análise de sinal de funções racionais. Para resolver vamos precisar determinar o domínio, as raízes do numerador e do denominador, e montar o quadro de sinais.

Passo 2

Primeiro, identificamos o denominador e seu zero. Note que
x^2-2x+1=(x-1)^2,
logo a única raiz é x=1. Portanto o domínio é
Rsetminus1

Passo 3

Em seguida, achamos a raiz do numerador. Temos
2x-5=0Longrightarrow x=52
Assim f(x)=0 apenas em x=tfrac52.

Passo 4

Agora, analisamos o sinal de cada fator em cada intervalo:
  • O fator 2x-5 é negativo para x<tfrac52 e positivo para x>tfrac52.
  • O fator (x-1)^2 é sempre positivo em todo o domínio (é um quadrado), sem trocar de sinal, e se anula em x=1 (ponto excluído).

Passo 5

Como o denominador é sempre positivo onde definido, o sinal de f(x) coincide com o sinal de 2x-5. Montando o quadro:
Para x<1: temos x<1<tfrac52, logo 2x-5<0 e f(x)<0.
Em x=1: ponto de descontinuidade (assíntota vertical).
Para 1<x<tfrac52: ainda x<tfrac52, então 2x-5<0 e f(x)<0.
Em x=tfrac52: f(x)=0.
Para x>tfrac52: 2x-5>0 e f(x)>0.

Resposta

O domínio é Rsetminus1.
f(x)<0 para xin(-infty,1)cup(1,tfrac52).
f(tfrac52)=0.
f(x)>0 para xin(tfrac52,infty).
Em x=1 há assíntota vertical.

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