Exercício 8. Em um evento internacional, 58 \% dos participantes falam inglês, 47 \% falam espanhol e 29 \% falam ambas as línguas.
a) Encontre a proporção dos participantes que falam ao menos uma das línguas (inglês ou espanhol).
b) Encontre a proporção dos participantes que falam apenas inglês?
c) Encontre a proporção dos participantes que falam exatamente uma das línguas (ou inglês ou espanhol).
d) Encontre a proporção dos participantes que não falam inglês nem espanhol.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei os números diretamente do enunciado).
  • Dados:
    • A proporção que fala inglês é |I| = 58\%.
    • A proporção que fala espanhol é |S| = 47\%.
    • A proporção que fala ambas as línguas é |I\cap S| = 29\%.
  • Perguntas:
    (a) Qual a proporção que fala ao menos uma das línguas (ou seja, I\cup S)?
    (b) Qual a proporção que fala apenas inglês (ou seja, fala inglês e não fala espanhol)?
    (c) Qual a proporção que fala exatamente uma das línguas (ou seja, fala inglês ou espanhol, mas não as duas)?
    (d) Qual a proporção que não fala nem inglês nem espanhol?

Passo 2

Entendendo a ideia básica (contando sem repetir): quando somamos |I| e |S| estamos contando duas vezes quem fala as duas línguas ( |I\cap S|). Para achar a proporção que fala ao menos uma das línguas usamos o princípio da inclusão-exclusão. A fórmula é:
|I\cup S| = |I| + |S| - |I\cap S|.
Isso evita a dupla contagem do grupo que está na interseção.

Passo 3

Calcular |I\cup S| (resposta da letra a):
|I\cup S| = 58\% + 47\% - 29\% = (58+47-29)\% = 76\%.
Interpretação rápida: 76\% dos participantes falam pelo menos uma das línguas.

Passo 4

Calcular a proporção que fala apenas inglês (resposta da letra b). “Apenas inglês” significa falar inglês menos os que também falam espanhol, isto é:
\text{apenas inglês} = |I| - |I\cap S| = 58\% - 29\% = 29\%.ê

Passo 5

Calcular a proporção que fala exatamente uma das línguas (resposta da letra c). Existem duas abordagens equivalentes:
Método 1 (somando os que falam só inglês e os que falam só espanhol):
  • Já temos \text{apenas inglês} = 29\%ê.
  • A proporção que fala apenas espanhol é |S| - |I\cap S| = 47\% - 29\% = 18\%.
  • Soma:
\text{exatamente uma} = 29\% + 18\% = 47\%.
Método 2 (fórmula direta):
\text{exatamente uma} = |I| + |S| - 2|I\cap S| = 58\% + 47\% - 2\cdot29\% = 47\%.

Passo 6

Calcular a proporção que não fala nem inglês nem espanhol (resposta da letra d). Isso é o complemento do conjunto I\cup S no universo (100%):
\text{nenhuma} = 100\% - |I\cup S| = 100\% - 76\% = 24\%.

Resposta

(a) 76\%
(b) 29\%
(c) 47\%
(d) 24\%

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