Exercício 5 (Matemática). Sejam
e
subconjuntos de
. Verifique que
Passo 1
O enunciado dá que
e que
e
são subconjuntos de
. Pede para verificar a igualdade entre dois conjuntos:
Ou seja, provar que os dois conjuntos à esquerda e à direita contêm exatamente os mesmos elementos.
Passo 2
Primeira inclusão: provar que
Tomemos um elemento arbitrário
tal que
Pela definição de interseção isso significa que simultaneamente
Pela definição de união,
equivale a
Pela definição de complemento,
equivale a
Portanto temos a proposição lógica
onde
é a afirmação “
” e
é “
”. Uma identidade lógica básica diz que
Traduzindo de volta para conjuntos, isso significa
Mas "
e
" é exatamente
, e "
e
" é
. Logo
Como
foi arbitrário, mostramos que
Passo 3
Segunda inclusão: provar que
Tomemos
. Então ou
No caso (i) temos
e
. Então claramente
(porque está em
) e, como não está em
, não pode estar em
; portanto
. Assim
.
No caso (ii) temos
e
. Pelo mesmo raciocínio
e
, então
.
Como em ambos os casos
pertence ao conjunto da direita, concluímos que
Passo 4
Juntando as duas inclusões das Passo 2 e Passo 3 obtemos a igualdade pedida:
Observação alternativa (curta, se quiser decorar): usar a lei de De Morgan
e distribuir
para obter
, simplificar
e
e reconhecer os conjuntos restantes como
e
.