Exercício 5 (Matemática). Sejam A e B subconjuntos de S \neq \emptyset. Verifique que
(A \cup B) \cap(A \cap B)^{c}=(A \backslash B) \cup(B \backslash A)

Passo 1

O enunciado dá que S\neq\emptyset e que A e B são subconjuntos de S. Pede para verificar a igualdade entre dois conjuntos:
(A \cup B) \cap (A \cap B)^{c} = (A \backslash B) \cup (B \backslash A).
Ou seja, provar que os dois conjuntos à esquerda e à direita contêm exatamente os mesmos elementos.

Passo 2

Primeira inclusão: provar que
(A \cup B) \cap (A \cap B)^{c} \subseteq (A \backslash B) \cup (B \backslash A).
Tomemos um elemento arbitrário x tal que
x \in (A \cup B) \cap (A \cap B)^{c}.
Pela definição de interseção isso significa que simultaneamente
x \in (A \cup B) \qquad\text{e}\qquad x \in (A \cap B)^{c}.
Pela definição de união, x \in (A \cup B) equivale a
x \in A \;\text{ou}\; x \in B.
Pela definição de complemento, x \in (A \cap B)^{c} equivale a
\text{não }(x \in A \;\text{e}\; x \in B).ã
Portanto temos a proposição lógica
(p \vee q)\wedge\neg(p\wedge q),
onde p é a afirmação “ x\in A” e q é “ x\in B”. Uma identidade lógica básica diz que
(p \vee q)\wedge\neg(p\wedge q)\quad\Longleftrightarrow\quad (p\wedge\neg q)\vee(q\wedge\neg p).
Traduzindo de volta para conjuntos, isso significa
(x\in A \;\text{e}\; x\notin B)\;\text{ou}\;(x\in B \;\text{e}\; x\notin A).
Mas " x\in A e x\notin B" é exatamente x\in A\backslash B, e " x\in B e x\notin A" é x\in B\backslash A. Logo
x\in (A\backslash B)\cup(B\backslash A).
Como x foi arbitrário, mostramos que
(A \cup B) \cap (A \cap B)^{c} \subseteq (A \backslash B) \cup (B \backslash A).

Passo 3

Segunda inclusão: provar que
(A \backslash B) \cup (B \backslash A) \subseteq (A \cup B) \cap (A \cap B)^{c}.
Tomemos x\in (A \backslash B) \cup (B \backslash A). Então ou
\text{(i)}\quad x\in A\backslash B\quad\text{ou}\quad\text{(ii)}\quad x\in B\backslash A.
No caso (i) temos x\in A e x\notin B. Então claramente x\in A\cup B (porque está em A) e, como não está em B, não pode estar em A\cap B; portanto x\in (A\cap B)^{c}. Assim x\in (A\cup B)\cap (A\cap B)^{c}.
No caso (ii) temos x\in B e x\notin A. Pelo mesmo raciocínio x\in A\cup B e x\notin A\cap B, então x\in (A\cup B)\cap (A\cap B)^{c}.
Como em ambos os casos x pertence ao conjunto da direita, concluímos que
(A \backslash B) \cup (B \backslash A) \subseteq (A \cup B) \cap (A \cap B)^{c}.

Passo 4

Juntando as duas inclusões das Passo 2 e Passo 3 obtemos a igualdade pedida:
(A \cup B) \cap (A \cap B)^{c} = (A \backslash B) \cup (B \backslash A).
Observação alternativa (curta, se quiser decorar): usar a lei de De Morgan (A\cap B)^c = A^c\cup B^c e distribuir (A\cup B)\cap(A^c\cup B^c) para obter (A\cap A^c)\cup(B\cap A^c)\cup(A\cap B^c)\cup(B\cap B^c), simplificar A\cap A^c=\emptyset e B\cap B^c=\emptyset e reconhecer os conjuntos restantes como B\cap A^c = B\backslash A e A\cap B^c = A\backslash B.

Resposta

(A \cup B) \cap (A \cap B)^{c} = (A \backslash B) \cup (B \backslash A).

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