Exercício 5.7 Mostre que, se
, então
Passo 1
O enunciado dá a transformada de Laplace de uma função
e pede para mostrar uma relação quando multiplicamos
por
. Em forma curta, temos:
- Dado que
. - Pede-se para provar que
.
Informações relevantes fornecidas:
- A transformada de Laplace de
já foi dada como . - A função a ser transformada agora é
, onde é uma constante (real, em geral). - Não são fornecidos outros dados; assume-se que as transformadas envolvidas existem (isto é, os integrais convergem nas regiões apropriadas de
).
Passo 2
Lembrar a definição da transformada de Laplace. Para uma função
(definida para
) a transformada de Laplace é
Aqui:
-
é a variável temporal (ou variável original da função). -
é a variável complexa da transformada. - O fator
é o núcleo da transformada e serve para “pesar” a função ao integrar de a .
Essa definição é a ferramenta que vamos usar diretamente.
Passo 3
Aplicar a definição com
. Substituindo na definição:
Explicar a manipulação dos expoentes:
. Portanto a integral fica
Passo 4
Reconhecer o resultado com a definição de
. Pela definição inicial,
é
Se trocamos
por
nessa expressão, obtemos
Comparando com a integral obtida no Passo 3, vemos que são idênticas. Logo
Passo 5
Comentário sobre a região de convergência (para a prova é bom mencionar). A igualdade acima vale para os valores de
tais que o integral
converge. Em termos da região onde
está definida: se
converge para
, então
converge para os
tais que
, isto é, para
. Em linguagem simples: o fator
desloca a região de convergência de
por
no eixo real.
Passo 6
Exemplo rápido para fixar (faça isso na prova se tiver tempo): tome
. Então
para
. Pela propriedade provada,
que é o resultado clássico, válido para
.
Passo 7
Resumo didático final: a prova é curta e se baseia em substituir
na definição da transformada e em seguida usar a identidade
. A conclusão é imediata: trocar
por
em
.