Exercício 5.7 Mostre que, se \mathscr{L}\{f(t)\}=F(s), então
\mathscr{L}\left\{e^{a t} f(t)\right\}=F(s-a) .

Passo 1

O enunciado dá a transformada de Laplace de uma função f(t) e pede para mostrar uma relação quando multiplicamos f(t) por e^{a t}. Em forma curta, temos:
  • Dado que \mathscr{L}\{f(t)\}=F(s).
  • Pede-se para provar que \mathscr{L}\{e^{a t} f(t)\}=F(s-a).
Informações relevantes fornecidas:
  • A transformada de Laplace de f já foi dada como F(s).
  • A função a ser transformada agora é e^{a t} f(t), onde a é uma constante (real, em geral).
  • Não são fornecidos outros dados; assume-se que as transformadas envolvidas existem (isto é, os integrais convergem nas regiões apropriadas de s).

Passo 2

Lembrar a definição da transformada de Laplace. Para uma função g(t) (definida para t\ge 0) a transformada de Laplace é
\mathscr{L}\{g(t)\}=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,g(t)\,dt.
Aqui:
  • t é a variável temporal (ou variável original da função).
  • s é a variável complexa da transformada.
  • O fator e^{-s t} é o núcleo da transformada e serve para “pesar” a função g(t) ao integrar de 0 a \infty.
    Essa definição é a ferramenta que vamos usar diretamente.

Passo 3

Aplicar a definição com g(t)=e^{a t} f(t). Substituindo na definição:
\mathscr{L}\{e^{a t} f(t)\}=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\bigl(e^{a t} f(t)\bigr)\,dt.
Explicar a manipulação dos expoentes: e^{-s t}\cdot e^{a t}=e^{(-s+a)t}=e^{-(s-a)t}. Portanto a integral fica
\mathscr{L}\{e^{a t} f(t)\}=\int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t}\,f(t)\,dt.

Passo 4

Reconhecer o resultado com a definição de F. Pela definição inicial, F(s) é
F(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,f(t)\,dt.
Se trocamos s por s-a nessa expressão, obtemos
F(s-a)=\int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t}\,f(t)\,dt.
Comparando com a integral obtida no Passo 3, vemos que são idênticas. Logo
\mathscr{L}\{e^{a t} f(t)\}=F(s-a).

Passo 5

Comentário sobre a região de convergência (para a prova é bom mencionar). A igualdade acima vale para os valores de s tais que o integral \int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t}f(t)\,dt converge. Em termos da região onde F está definida: se F(s) converge para \Re(s)>\sigma, então \mathscr{L}\{e^{a t} f(t)\} converge para os s tais que \Re(s-a)>\sigma, isto é, para \Re(s)>\sigma+\Re(a). Em linguagem simples: o fator e^{a t} desloca a região de convergência de F por +a no eixo real.

Passo 6

Exemplo rápido para fixar (faça isso na prova se tiver tempo): tome f(t)=1. Então F(s)=\dfrac{1}{s} para \Re(s)>0. Pela propriedade provada,
\mathscr{L}\{e^{a t}\} = F(s-a)=\frac{1}{s-a},
que é o resultado clássico, válido para \Re(s)>\Re(a).

Passo 7

Resumo didático final: a prova é curta e se baseia em substituir g(t)=e^{a t}f(t) na definição da transformada e em seguida usar a identidade e^{-s t}e^{a t}=e^{-(s-a)t}. A conclusão é imediata: trocar s por s-a em F(s).

Resposta

\mathscr{L}\{e^{a t} f(t)\}=F(s-a)

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