Exercício 6. Dê um exemplo de uma matriz A \in M_{2}(\mathbb{R}) tal que A^{2}=I_{2}. Verifique que A é invertível e que |A|= \pm 1.

Passo 1

O enunciado pede:
  • Dar um exemplo de uma matriz A\in M_{2}(\mathbb{R}) tal que A^{2}=I_{2}.
  • Verificar que A é invertível.
  • Verificar que |A|=\pm 1 (isto é, \det(A)=\pm 1).
Informações dadas que vamos usar:
  • A é uma matriz 2\times2 com entradas reais.
  • I_{2} é a matriz identidade 2\times2.

Passo 2

Vou apresentar um exemplo explícito. Considere a matriz A definida por
A=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
Agora vou calcular A^{2} efetuando a multiplicação de matrizes passo a passo. Multiplica-se a primeira linha de A pelas colunas de A e depois a segunda linha pelas colunas:
A^{2}= \begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\cdot 0 + 1\cdot 1 & 0\cdot 1 + 1\cdot 0 \\[6pt] 1\cdot 0 + 0\cdot 1 & 1\cdot 1 + 0\cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Portanto \,A^{2}=I_{2}, como exigido.]

Passo 3

Agora verifico que A é invertível. Lembrete: uma matriz A é invertível se existe uma matriz B tal que
AB=BA=I_{2}.
No nosso caso acabamos de calcular que
A\cdot A = I_{2}.
Isso mostra que A própria funciona como a inversa de A; em símbolos,
A^{-1}=A.
Como existe essa matriz inversa, A é invertível. (Explicação simples: ter A^{2}=I_{2} fornece diretamente a inversa.)

Passo 4

Vou calcular o determinante do exemplo e também provar a afirmação geral sobre |A|.
Cálculo do determinante de A:
\det(A)= \begin{vmatrix}0 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{vmatrix} =0\cdot 0 - 1\cdot 1 = -1.
Assim, para este exemplo \det(A)=-1, que é um dos valores permitidos \pm 1.
Prova geral de que sempre vale \det(A)=\pm 1 quando A^{2}=I_{2}: use a propriedade multiplicativa do determinante, que diz que para quaisquer matrizes quadradas compatíveis \det(BC)=\det(B)\det\text{(C)}. Aplicando isso a A^{2}=A\cdot A e à igualdade A^{2}=I_{2} obtemos
\det(A^{2})=\det(I_{2}).
Pelo lado esquerdo \det(A^{2})=\det(A)\det(A)=\det(A)^{2}. Pelo lado direito \det(I_{2})=1. Logo
\det(A)^{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad \det(A)=\pm 1.
Isso vale para qualquer matriz (quadrada) A que satisfaça A^{2}=I, em particular para matrizes 2\times2.]

Passo 5

Resumo e observação final: dei o exemplo concreto
A=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix},
mostrei que A^{2}=I_{2}, que A^{-1}=A (logo A é invertível) e que \det(A)=-1. Além disso mostrei a razão geral pela qual qualquer A com A^{2}=I satisfaz \det(A)=\pm 1.]

Resposta

A matriz exemplo:
A=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}
Verificações:
A^{2}=I_{2},\qquad A^{-1}=A\\ (\text{logo \(A\) é invertível}),\qquad \det(A)=-1.éí
Em geral, de A^{2}=I_{2} segue \det(A)^{2}=1, portanto \det(A)=\pm 1.]

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