Agora vou calcular A^{2} efetuando a multiplicação de matrizes passo a passo. Multiplica-se a primeira linha de A pelas colunas de A e depois a segunda linha pelas colunas:
Assim, para este exemplo \det(A)=-1, que é um dos valores permitidos \pm 1.
Prova geral de que sempre vale \det(A)=\pm 1 quando A^{2}=I_{2}: use a propriedade multiplicativa do determinante, que diz que para quaisquer matrizes quadradas compatíveis \det(BC)=\det(B)\det\text{(C)}. Aplicando isso a A^{2}=A\cdot A e à igualdade A^{2}=I_{2} obtemos
\det(A^{2})=\det(I_{2}).
Pelo lado esquerdo \det(A^{2})=\det(A)\det(A)=\det(A)^{2}. Pelo lado direito \det(I_{2})=1. Logo
mostrei que A^{2}=I_{2}, que A^{-1}=A (logo A é invertível) e que \det(A)=-1. Além disso mostrei a razão geral pela qual qualquer A com A^{2}=I satisfaz \det(A)=\pm 1.]
Resposta
A matriz exemplo:
A=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}
Verificações:
A^{2}=I_{2},\qquad A^{-1}=A\\ (\text{logo \(A\) é invertível}),\qquad \det(A)=-1.éí
Em geral, de A^{2}=I_{2} segue \det(A)^{2}=1, portanto \det(A)=\pm 1.]