Exercício 1. Para cada uma das transformações lineares abaixo, determinar uma base e a respectiva dimensão do núcleo e da imagem da mesma.
T: \mathscr{P}_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathscr{P}_{2}(\mathbb{R}), dada por T(p)=p_{2} p^{\prime \prime}, para p \in \mathscr{P}_{2}(\mathbb{R}), em que p_{2}(x)=x^{2}, para x \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado pede: para a transformação linear T:\mathscr{P}_{2}(\mathbb{R})\to\mathscr{P}_{2}(\mathbb{R}) definida por T(p)=p_{2}\,p^{\prime\prime}, com p_{2}(x)=x^{2}, determinar
  • uma base do núcleo de T e sua dimensão;
  • uma base da imagem de T e sua dimensão.
Informações importantes fornecidas:
  • O espaço origem e alvo é \mathscr{P}_{2}(\mathbb{R}), o espaço dos polinômios com coeficientes reais de grau no máximo 2.
  • A transformação é dada ponto a ponto por T(p)(x)=x^{2}\,p^{\prime\prime}(x).
  • Não há figura nem tabela; todos os dados estão no enunciado acima.

Passo 2

Vou começar lembrando o que é p^{\prime\prime} para um polinômio em \mathscr{P}_{2}(\mathbb{R}). Seja
p(x)=ax^{2}+bx+c,
onde a,b,c\in\mathbb{R}. A derivada primeira é
p'(x)=2ax+b,
e a derivada segunda é
p''(x)=2a.
Comentário didático: para polinômios, derivar é só multiplicar cada monômio x^{k} por k e reduzir o expoente. Como o grau máximo aqui é 2, a segunda derivada de um polinômio quadrático é uma constante (não depende de x), igual a 2a.

Passo 3

Agora aplico a definição de T a um polinômio geral p(x)=ax^{2}+bx+c. Usando o resultado do passo anterior,
T(p)(x)=x^{2}\,p''(x)=x^{2}\cdot(2a)=2a\,x^{2}.
Portanto, para qualquer p\in\mathscr{P}_{2}(\mathbb{R}) a imagem T(p) é sempre um múltiplo escalar de x^{2}. Observação importante: o coeficiente desse múltiplo depende somente de a, o coeficiente de x^{2} em p.

Passo 4

Determinar o núcleo: por definição,
\ker(T)=\{p\in\mathscr{P}_{2}(\mathbb{R})\mid T(p)=0\}.
Usando T(p)=2a\,x^{2}, temos T(p)=0 (o polinômio nulo) se, e somente se, 2a=0, ou seja a=0. Logo os polinômios do núcleo são exatamente aqueles de forma
p(x)=bx+c,
com b,c\in\mathbb{R}. Esses polinômios formam um subespaço gerado por \{1,x\}. Explicando: qualquer bx+c é combinação linear b\cdot x + c\cdot 1, e 1 e x são linearmente independentes, então são uma base do núcleo.
Portanto uma base do núcleo é \{1,x\}. A dimensão do núcleo é o número de vetores na base, logo
\dim\ker(T)=2.

Passo 5

Determinar a imagem: do passo 3 vimos que para todo p,
T(p)(x)=2a\,x^{2},
ou seja, T(p) é sempre um múltiplo de x^{2}. Assim a imagem é o conjunto de todos os polinômios da forma \lambda x^{2} com \lambda\in\mathbb{R}. Em termos de subespaço,
\operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{x^{2}\}.
Logo \{x^{2}\} é uma base da imagem e
\dim\operatorname{Im}(T)=1.
Didática extra: mostramos explicitamente que existe pelo menos um polinômio da forma x^{2} na imagem (por exemplo T(x^{2})=2x^{2}, então x^{2}=\tfrac{1}{2}T(x^{2}) pertence à imagem), o que garante que a imagem não é o subespaço nulo; como todos os elementos da imagem são múltiplos de x^{2}, a dimensão é exatamente 1.

Passo 6

Verificação pelo teorema dimensão (teorema núcleo-imagem / rank-nullity): para transformações lineares entre espaços de dimensão finita temos
\dim\mathscr{P}_{2}(\mathbb{R})=\dim\ker(T)+\dim\operatorname{Im}(T).
Aqui \dim\mathscr{P}_{2}(\mathbb{R})=3 (base canônica \{1,x,x^{2}\}). Substituindo os valores encontrados,
3 \stackrel{?}{=} 2 + 1,
o que confere. Boa checagem de consistência!

Passo 7

(Informação adicional útil na prova) Matriz de T na base canônica \{1,x,x^{2}\}: calcular T(1),T(x),T(x^{2}).
  • T(1)=0.
  • T(x)=0.
  • T(x^{2})=2x^{2}.
Escrevendo essas imagens na base \{1,x,x^{2}\}, as colunas da matriz são (0,0,0)^{T}, (0,0,0)^{T} e (0,0,2)^{T}. Isso corresponde a uma matriz com posto 1, que é coerente com \dim\operatorname{Im}(T)=1.

Resposta

Base do núcleo: \{1,x\}. \dim\ker(T)=2.
Base da imagem: \{x^{2}\}. \dim\operatorname{Im}(T)=1.

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