Exercício 1. Para cada uma das transformações lineares abaixo, determinar uma base e a respectiva dimensão do núcleo e da imagem da mesma.
, dada por
, para
, em que
, para
.
Passo 1
O enunciado pede: para a transformação linear
definida por
, com
, determinar
- uma base do núcleo de
e sua dimensão; - uma base da imagem de
e sua dimensão.
Informações importantes fornecidas:
- O espaço origem e alvo é
, o espaço dos polinômios com coeficientes reais de grau no máximo . - A transformação é dada ponto a ponto por
. - Não há figura nem tabela; todos os dados estão no enunciado acima.
Passo 2
Vou começar lembrando o que é
para um polinômio em
. Seja
onde
. A derivada primeira é
e a derivada segunda é
Comentário didático: para polinômios, derivar é só multiplicar cada monômio
por
e reduzir o expoente. Como o grau máximo aqui é
, a segunda derivada de um polinômio quadrático é uma constante (não depende de
), igual a
.
Passo 3
Agora aplico a definição de
a um polinômio geral
. Usando o resultado do passo anterior,
Portanto, para qualquer
a imagem
é sempre um múltiplo escalar de
. Observação importante: o coeficiente desse múltiplo depende somente de
, o coeficiente de
em
.
Passo 4
Determinar o núcleo: por definição,
Usando
, temos
(o polinômio nulo) se, e somente se,
, ou seja
. Logo os polinômios do núcleo são exatamente aqueles de forma
com
. Esses polinômios formam um subespaço gerado por
. Explicando: qualquer
é combinação linear
, e
e
são linearmente independentes, então são uma base do núcleo.
Portanto uma base do núcleo é
. A dimensão do núcleo é o número de vetores na base, logo
Passo 5
Determinar a imagem: do passo 3 vimos que para todo
,
ou seja,
é sempre um múltiplo de
. Assim a imagem é o conjunto de todos os polinômios da forma
com
. Em termos de subespaço,
Logo
é uma base da imagem e
Didática extra: mostramos explicitamente que existe pelo menos um polinômio da forma
na imagem (por exemplo
, então
pertence à imagem), o que garante que a imagem não é o subespaço nulo; como todos os elementos da imagem são múltiplos de
, a dimensão é exatamente
.
Passo 6
Verificação pelo teorema dimensão (teorema núcleo-imagem / rank-nullity): para transformações lineares entre espaços de dimensão finita temos
Aqui
(base canônica
). Substituindo os valores encontrados,
o que confere. Boa checagem de consistência!
Passo 7
(Informação adicional útil na prova) Matriz de
na base canônica
: calcular
.
-
. -
. -
.
Escrevendo essas imagens na base
, as colunas da matriz são
,
e
. Isso corresponde a uma matriz com posto
, que é coerente com
.
Resposta
Base do núcleo:
.
Base da imagem: .
Base da imagem: