Exercício 2. Dê exemplos de transformações lineares
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, tal que T\left(\mathbb{R}^{2}\right)=\{(0,0,0)\}).

Passo 1

O enunciado pede exemplos de transformações lineares T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3} tais que T(\mathbb{R}^{2})=\{(0,0,0)\}.
Informações dadas que vamos usar:
  • Domínio: \mathbb{R}^{2}.
  • Contradomínio: \mathbb{R}^{3}.
  • Condição exigida: a imagem (ou alcance) de T é o conjunto formado somente pelo vetor nulo em \mathbb{R}^{3}, isto é \{(0,0,0)\}.
    A tarefa é apresentar exemplos concretos de tais transformações.

Passo 2

O que significa “transformação linear”? Vou explicar devagar e com calma. Uma aplicação T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3} é linear quando, para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^{2} e qualquer escalar \lambda\in\mathbb{R}, valem as duas propriedades abaixo:
T(u+v)=T(u)+T(v)
T(\lambda u)=\lambda\,T(u)
Aqui u e v são vetores do domínio e \lambda é um número real. Essas propriedades garantem que T respeita soma e multiplicação por escalar — é isso que “linear” quer dizer.

Passo 3

O que é a imagem (alcance) de T? Por definição,
T(\mathbb{R}^{2})=\{\,T(v)\mid v\in\mathbb{R}^{2}\,\}.
A condição T(\mathbb{R}^{2})=\{(0,0,0)\} significa que, quando você aplica T a qualquer vetor de \mathbb{R}^{2}, o resultado sempre é o vetor nulo (0,0,0). Em outras palavras, para todo v\in\mathbb{R}^{2} vale
T(v)=(0,0,0).
Uma transformação linear com essa propriedade é chamada de transformação nula (ou aplicação zero). Então qualquer exemplo que eu der tem que ser exatamente a transformação que envia todo vetor em zero.

Passo 4

Representação matricial (ferramenta prática). Toda transformação linear T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3} pode ser representada por uma matriz 3\times2. A forma geral é
A=\begin{pmatrix} a & b\\[4pt] c & d\\[4pt] e & f \end{pmatrix},
e a ação em (x,y)\in\mathbb{R}^{2} é
T(x,y)=A\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} ax+by\\[4pt] cx+dy\\[4pt] ex+fy \end{pmatrix}.
Para que T(\mathbb{R}^{2})=\{(0,0,0)\} é necessário e suficiente que as colunas de A sejam vetores nulos (porque T(1,0) é a primeira coluna e T(0,1) é a segunda coluna). Assim precisamos ter
\begin{pmatrix}a\\\ c\\\ e\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad \begin{pmatrix}b\\\ d\\\ f\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},
ou seja a=b=c=d=e=f=0. Conclusão: a única matriz 3\times2 que dá imagem \{(0,0,0)\} é a matriz nula.]

Passo 5

Exemplos explícitos e checagem passo a passo.
Exemplo 1 (forma direta):
Defina T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3} por
T(x,y)=(0,0,0)\quad\text{para todo }(x,y)\in\mathbb{R}^{2}.
Verificação rápida: para quaisquer u,v\in\mathbb{R}^{2} e \lambda\in\mathbb{R},
T(u+v)=(0,0,0)= (0,0,0)+(0,0,0)=T(u)+T(v),
T(\lambda u)=(0,0,0)=\lambda(0,0,0)=\lambda T(u).
Logo T é linear e a imagem é claramente \{(0,0,0)\}.
Exemplo 2 (forma matricial):
Use a matriz nula A\in\mathbb{R}^{3\times2}:
A=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Defina T(x,y)=A\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}. Então, para todo (x,y),
T(x,y)=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix},
portanto T(\mathbb{R}^{2})=\{(0,0,0)\}. Checagem de linearidade segue da propriedade de multiplicação matricial.
Exemplo 3 (definindo imagens das bases):
Sejam e_1=(1,0) e e_2=(0,1) a base canônica de \mathbb{R}^2. Defina
T(e_1)=(0,0,0),\qquad T(e_2)=(0,0,0),
e estenda linearmente. Então para qualquer (x,y)=x e_1 + y e_2 temos
T(x,y)=xT(e_1)+yT(e_2)=x(0,0,0)+y(0,0,0)=(0,0,0).
Isso produz a mesma transformação nula.]

Passo 6

Observação teórica útil (para a prova): o espaço imagem tem dimensão igual ao posto ( \operatorname{rank}) de T. Se T(\mathbb{R}^2)=\{(0,0,0)\} então \operatorname{rank}(T)=0. Pelo teorema da dimensão (rank-nullity),
\dim(\mathbb{R}^2)=\operatorname{rank}(T)+\operatorname{nullity}(T),
ou seja 2=0+\operatorname{nullity}(T), então \operatorname{nullity}(T)=2 e o núcleo de T é todo \mathbb{R}^2. Isso é só outra maneira de ver que todo vetor do domínio vai para o zero.

Passo 7

Dica prática para a prova (receita rápida): se te der uma transformação linear por matriz, verifique as colunas. Se ambas as colunas são o vetor nulo em \mathbb{R}^3, a imagem é \{(0,0,0)\}. Se te der por regra, simplifique a regra — se a expressão se reduz ao vetor nulo para todo (x,y), então é a transformação nula.

Resposta

T_1:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3,\;T_1(x,y)=(0,0,0).
T_2 dada pela matriz \displaystyle A=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}, ou seja T_2(x,y)=A\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}=(0,0,0).
T_3 definida por T_3(e_1)=(0,0,0),\;T_3(e_2)=(0,0,0), estendida linearmente (resulta em T_3(x,y)=(0,0,0)).]

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