Exercício 7 Nos exercícios abaixo, esboce as curvas de nível da função correspondentes aos valores dados de z.
f(x, y)=2 x+3 y ; z=-2,-1,0,1,2

Passo 1

O enunciado pede para esboçarmos as curvas de nível da função
f(x,y)=2x+3y
correspondentes aos valores de z=-2,-1,0,1,2.
Conteúdo: curvas de nível (nível sets) de uma função de duas variáveis. Para cada constante z, a curva de nível é o conjunto de pontos (x,y) tais que f(x,y)=z.

Passo 2

Para cada valor de z definimos a equação da curva de nível impondo
2x+3y=z.

Passo 3

Isolando y em função de x e de z, obtemos
3y = z - 2x
y = -\frac{2}{3}\,x + \frac{z}{3}.

Passo 4

Cada curva de nível é, portanto, uma reta de coeficiente angular -\tfrac{2}{3} e coeficiente linear \tfrac{z}{3}. Para valores de z que aumentam de 1 em 1, as retas são paralelas e verticalmente deslocadas de \tfrac{1}{3}.

Passo 5

Substituindo z em \tfrac{z}{3}, as cinco curvas de nível são:
y = -\tfrac{2}{3}\,x - \tfrac{2}{3} \quad(z=-2),
y = -\tfrac{2}{3}\,x - \tfrac{1}{3} \quad(z=-1),
y = -\tfrac{2}{3}\,x + 0 \quad(z=0),
y = -\tfrac{2}{3}\,x + \tfrac{1}{3} \quad(z=1),
y = -\tfrac{2}{3}\,x + \tfrac{2}{3} \quad(z=2).

Resposta

As curvas de nível são as retas
y = -\frac{2}{3}x + \frac{z}{3},
com z=-2,-1,0,1,2, ou explicitamente
y=-\tfrac{2}{3}x-\tfrac{2}{3},\; y=-\tfrac{2}{3}x-\tfrac{1}{3},\; y=-\tfrac{2}{3}x,\; y=-\tfrac{2}{3}x+\tfrac{1}{3},\; y=-\tfrac{2}{3}x+\tfrac{2}{3}.

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