Exercício 10: Considere a transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dada por T(x, y, z)=(3 x+y-2 z, 5 y-2 z, 3 z).
a. Determine os autovalores e os autovetores de T.
b. T é diagonalizável? Justifique e descreva a base \alpha, onde [T]_{\alpha} é diagonal.
c. Utilize a diagonalização encontrada no item (b) para calcular \left([T]_{c}^{c}\right)^{10}, onde c é a base canônica.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3,\quad T(x,y,z)=(3x+y-2z,\;5y-2z,\;3z)
e pede
  • (a) os autovalores e autovetores de T;
  • (b) se T é diagonalizável e, em caso afirmativo, a base \alpha que diagonaliza;
  • (c) usando essa diagonalização, calcular \bigl([T]_c^c\bigr)^{10}, sendo c a base canônica.
Conteúdo: autovalores, autovetores, diagonalização de transformações lineares.

Passo 2

Escrevemos a matriz de T na base canônica c:
A = [T]_c^c = \begin{pmatrix} 3 & 1 & -2\\\\ 0 & 5 & -2\\\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.
Como é triangular, seu polinômio característico é
\chi_A(\lambda) =(3-\lambda)(5-\lambda)(3-\lambda) =(5-\lambda)\,(3-\lambda)^2.
Logo os autovalores são \lambda=5 (multiplicidade algébrica 1) e \lambda=3 (multiplicidade algébrica 2).

Passo 3

Para \lambda=5, resolvemos (A-5I)v=0:
A-5I=\begin{pmatrix}-2&1&-2\\\ 0&0&-2\\\ 0&0&-2\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; z=0,\;y=2x.
Um autovetor é, por exemplo, v_5=(1,2,0).
Para \lambda=3, (A-3I)v=0
A-3I=\begin{pmatrix}0&1&-2\\\ 0&2&-2\\\ 0&0&0\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; y=2z,\;y=z\;\Rightarrow\;y=z=0,\;x\text{ livre}.
Logo o autovetor é da forma (1,0,0), e a dimensão do autespaço de \lambda=3 é 1.

Passo 4

Comparando multiplicidade algébrica e geométrica:
  • Para \lambda=5, mult alg =1 e mult geom =1.
  • Para \lambda=3, mult alg =2 mas mult geom =1.
Como em \lambda=3 a dimensão do autespaço é menor que a multiplicidade algébrica, T não é diagonalizável. Não existe base \alpha em que [T]_\alpha seja diagonal.

Resposta

a. Os autovalores são \lambda=5 (autovetor (1,2,0)) e \lambda=3 (autovetor (1,0,0), com mult. geométrica 1).
b. T não é diagonalizável, pois em \lambda=3 sua multiplicidade geométrica ( 1) é menor que a algébrica ( 2). Não há base \alpha que torne [T]_{\alpha} diagonal.
c. Como não há diagonalização, não é possível usar esse método para calcular \bigl([T]_c^c\bigr)^{10}.

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