Exercício 10: Considere a transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dada por T(x, y, z)=(3 x+y-2 z, 5 y-2 z, 3 z).
a. Determine os autovalores e os autovetores de T.
b. T é diagonalizável? Justifique e descreva a base \alpha, onde [T]_{\alpha} é diagonal.
c. Utilize a diagonalização encontrada no item (b) para calcular \left([T]_{c}^{c}\right)^{10}, onde c é a base canônica.
Logo o autovetor é da forma (1,0,0), e a dimensão do autespaço de \lambda=3 é 1.
Passo 4
Comparando multiplicidade algébrica e geométrica:
Para \lambda=5, mult alg =1 e mult geom =1.
Para \lambda=3, mult alg =2 mas mult geom =1.
Como em \lambda=3 a dimensão do autespaço é menor que a multiplicidade algébrica, T não é diagonalizável. Não existe base \alpha em que [T]_\alpha seja diagonal.
Resposta
a. Os autovalores são \lambda=5 (autovetor (1,2,0)) e \lambda=3 (autovetor (1,0,0), com mult. geométrica 1).
b. Tnão é diagonalizável, pois em \lambda=3 sua multiplicidade geométrica (1) é menor que a algébrica (2). Não há base \alpha que torne [T]_{\alpha} diagonal.
c. Como não há diagonalização, não é possível usar esse método para calcular \bigl([T]_c^c\bigr)^{10}.