Exercício 5. Expanda:
Passo 1
O enunciado pede para expandir o produto entre dois polinômios. Dados:
- Primeiro fator:
. - Segundo fator:
.
O que se quer: desenvolver (multiplicar) termo a termo e simplificar, obtendo um polinômio sem parênteses.
Passo 2
Vamos usar a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição, que diz que para quaisquer expressões
vale
Aqui aplicamos essa propriedade duas vezes: multiplicamos cada termo do primeiro parêntese por cada termo do segundo parêntese (produto termo a termo).
Também usamos a regra de potências para a mesma base: ao multiplicar
por
obtemos
e que a multiplicação é comutativa, então
. Sinais seguem a regra usual:
vezes
dá
.
Passo 3
Multiplicar o primeiro termo do primeiro parêntese,
, por cada termo do segundo parêntese.
-
. Usando a regra das potências:
logo
-
. Não há soma de expoentes porque as bases são diferentes; fica o produto com as variáveis multiplicadas.
Passo 4
Multiplicar o segundo termo do primeiro parêntese,
, por cada termo do segundo parêntese.
-
. Pela comutatividade podemos escrever . Então
-
, usando a regra de potências para a mesma base .
Passo 5
Juntando todos os termos obtidos (somando as parcelas, lembrando os sinais):
Agora verificamos se existem termos semelhantes (mesmas variáveis com mesmos expoentes) para combinar: não há pares com mesmos expoentes, então a expressão já está simplificada. Podemos ordenar os termos se quisermos, por exemplo colocando potências decrescentes em
, mas isto é apenas convenção.