Exercício 5. Expanda:
\left(a^{2}+b^{3}\right)\left(-a^{4}+b\right)

Passo 1

O enunciado pede para expandir o produto entre dois polinômios. Dados:
  • Primeiro fator: a^{2}+b^{3}.
  • Segundo fator: -a^{4}+b.
O que se quer: desenvolver (multiplicar) termo a termo e simplificar, obtendo um polinômio sem parênteses.

Passo 2

Vamos usar a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição, que diz que para quaisquer expressões x,y,z vale
x(y+z)=xy+xz.
Aqui aplicamos essa propriedade duas vezes: multiplicamos cada termo do primeiro parêntese por cada termo do segundo parêntese (produto termo a termo).
Também usamos a regra de potências para a mesma base: ao multiplicar a^{m} por a^{n} obtemos
a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n},
e que a multiplicação é comutativa, então a^{m}b^{n}=b^{n}a^{m}. Sinais seguem a regra usual: + vezes - -.

Passo 3

Multiplicar o primeiro termo do primeiro parêntese, a^{2}, por cada termo do segundo parêntese.
  • a^{2}\cdot\left(-a^{4}\right) = -(a^{2}\cdot a^{4}). Usando a regra das potências:
a^{2}\cdot a^{4}=a^{2+4}=a^{6},
logo
a^{2}\cdot\left(-a^{4}\right) = -a^{6}.
  • a^{2}\cdot b = a^{2}b. Não há soma de expoentes porque as bases são diferentes; fica o produto com as variáveis multiplicadas.

Passo 4

Multiplicar o segundo termo do primeiro parêntese, b^{3}, por cada termo do segundo parêntese.
  • b^{3}\cdot\left(-a^{4}\right) = -(b^{3}\cdot a^{4}). Pela comutatividade podemos escrever a^{4}b^{3}. Então
b^{3}\cdot\left(-a^{4}\right) = -a^{4}b^{3}.
  • b^{3}\cdot b = b^{3+1}=b^{4}, usando a regra de potências para a mesma base b.

Passo 5

Juntando todos os termos obtidos (somando as parcelas, lembrando os sinais):
-a^{6} + a^{2}b - a^{4}b^{3} + b^{4}.
Agora verificamos se existem termos semelhantes (mesmas variáveis com mesmos expoentes) para combinar: não há pares com mesmos expoentes, então a expressão já está simplificada. Podemos ordenar os termos se quisermos, por exemplo colocando potências decrescentes em a, mas isto é apenas convenção.

Resposta

-a^{6}-a^{4}b^{3}+a^{2}b+b^{4}

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