Exercício 5. Expanda:
(a+b)^{4}

Passo 1

O enunciado pede para expandir a expressão (a+b)^{4}.
Informações dadas:
  • A expressão a expandir é (a+b)^{4}.
  • Não há valores numéricos para a ou b; a resposta deve ficar em termos de a e b.

Passo 2

Vamos usar a fórmula geral do Teorema Binomial. Ela diz que, para todo inteiro n\ge0,
(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^{k},
onde \binom{n}{k} é o coeficiente binomial (ou combinação) que indica "de quantas maneiras escolher k itens entre n". Esse coeficiente aparece como os fatores numéricos na expansão.
Explicando melhor o que é \binom{n}{k}: por definição
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial) é o produto n!=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot2\cdot1. Por exemplo 4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24.

Passo 3

Aplicando o Teorema Binomial com n=4, os termos são para k=0,1,2,3,4. Primeiro calculemos os coeficientes \binom{4}{k} um a um usando a definição com fatoriais:
  • Para k=0:
\binom{4}{0}=\frac{4!}{0!(4-0)!}=\frac{24}{1\cdot24}=1.
  • Para k=1:
\binom{4}{1}=\frac{4!}{1!(4-1)!}=\frac{24}{1\cdot6}=4,
pois 3!=6.
  • Para k=2:
\binom{4}{2}=\frac{4!}{2!(4-2)!}=\frac{24}{2\cdot2}=6,
pois 2!=2.
  • Para k=3:
\binom{4}{3}=\frac{4!}{3!(4-3)!}=\frac{24}{6\cdot1}=4.
  • Para k=4:
\binom{4}{4}=\frac{4!}{4!0!}=\frac{24}{24\cdot1}=1.
Portanto os coeficientes na expansão são 1,4,6,4,1.

Passo 4

Agora escrevemos cada termo correspondente a k. Pelo Teorema Binomial o termo geral para cada k é \binom{4}{k}a^{4-k}b^{k}. Substituindo os coeficientes que calculamos:
  • k=0: \binom{4}{0}a^{4}b^{0}=1\cdot a^{4}=a^{4}.
  • k=1: \binom{4}{1}a^{3}b^{1}=4a^{3}b.
  • k=2: \binom{4}{2}a^{2}b^{2}=6a^{2}b^{2}.
  • k=3: \binom{4}{3}a^{1}b^{3}=4ab^{3}.
  • k=4: \binom{4}{4}a^{0}b^{4}=b^{4}.
Somando todos os termos obtemos a expansão completa.

Passo 5

Como verificação rápida (jeito alternativo): multiplicar (a+b)^{2}=(a^{2}+2ab+b^{2}) por si mesmo:
(a^{2}+2ab+b^{2})^{2}
Expandindo por distributiva e juntando termos semelhantes dá exatamente
a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4},
o que confirma os coeficientes obtidos pelo Teorema Binomial.

Resposta

(a+b)^{4}=a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}

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