Exercício 5. Expanda:
Passo 1
O enunciado pede para expandir a expressão
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A expressão a expandir é
. - Não há valores numéricos para
ou ; a resposta deve ficar em termos de e .
Passo 2
Vamos usar a fórmula geral do Teorema Binomial. Ela diz que, para todo inteiro
,
onde
é o coeficiente binomial (ou combinação) que indica "de quantas maneiras escolher
itens entre
". Esse coeficiente aparece como os fatores numéricos na expansão.
Explicando melhor o que é
: por definição
onde
(fatorial) é o produto
. Por exemplo
.
Passo 3
Aplicando o Teorema Binomial com
, os termos são para
. Primeiro calculemos os coeficientes
um a um usando a definição com fatoriais:
- Para
:
- Para
:
pois
.
- Para
:
pois
.
- Para
:
- Para
:
Portanto os coeficientes na expansão são
.
Passo 4
Agora escrevemos cada termo correspondente a
. Pelo Teorema Binomial o termo geral para cada
é
. Substituindo os coeficientes que calculamos:
-
: . -
: . -
: . -
: . -
: .
Somando todos os termos obtemos a expansão completa.
Passo 5
Como verificação rápida (jeito alternativo): multiplicar
por si mesmo:
Expandindo por distributiva e juntando termos semelhantes dá exatamente
o que confirma os coeficientes obtidos pelo Teorema Binomial.