Exercício 6. Usando a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b). Simplifique:
(y+2)(y-2)

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão (y+2)(y-2) usando a identidade a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b). Informações dadas:
  • A expressão a simplificar é (y+2)(y-2).
  • Deve-se usar a identidade \,a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b).

Passo 2

Vou relembrar e demonstrar a identidade indicada, porque é útil entender de onde vem. A identidade diz que, para quaisquer a e b,
(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}.
Para ver isso, multiplicamos usando a distributiva (ou FOIL): (a+b)(a-b)=a\cdot a + a\cdot(-b) + b\cdot a + b\cdot(-b). Agrupando,
(a+b)(a-b)=a^{2}-ab+ab-b^{2}=a^{2}-b^{2},
pois os termos -ab e +ab se cancelam. Pronto: identidade demonstrada.

Passo 3

Agora identifique os termos a e b na nossa expressão (y+2)(y-2). Comparando com (a+b)(a-b), vemos que
a=y,\qquad b=2.

Passo 4

Substitua a=y e b=2 na forma a^{2}-b^{2}. Assim,
a^{2}-b^{2}=y^{2}-2^{2}.

Passo 5

Calcule 2^{2}. Como 2^{2}=4, obtemos
y^{2}-2^{2}=y^{2}-4.

Passo 6

Verificação alternativa (opcional, para ficar tranquilo): expandindo diretamente por distributiva (FOIL) (y+2)(y-2):
(y+2)(y-2)=y\cdot y + y\cdot(-2) + 2\cdot y + 2\cdot(-2)=y^{2}-2y+2y-4 = y^{2}-4,
os termos -2y e +2y se cancelam, confirmando o resultado.

Resposta

y^{2}-4

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