Exercício 6. Usando a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b). Simplifique:
(a+3)(a-3)

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão (a+3)(a-3) usando a identidade dada \,a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b).
Informações fornecidas:
  • A expressão a simplificar é (a+3)(a-3).
  • A identidade a usar é \,a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b).
  • A constante presente é 3 (que será o valor de b na identidade).

Passo 2

Entendendo a identidade \,a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b). Vou mostrar por que ela vale (isso é útil para você decorar e explicar na prova).
Multiplicando o lado direito usando FOIL (First, Outer, Inner, Last — primeiro, externo, interno, último):
(a+b)(a-b)=a\cdot a + a\cdot(-b) + b\cdot a + b\cdot(-b).
Agora escrevendo cada termo:
(a+b)(a-b)=a^{2} - ab + ab - b^{2}.
Repare que os termos -ab e +ab se cancelam:
a^{2} - ab + ab - b^{2} = a^{2} - b^{2}.
Portanto a identidade está demonstrada: (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}.
Aqui cada símbolo significa:
  • a e b são variáveis (podem ser números, letras, expressões).
  • a^{2} é o quadrado de a.
  • O produto (a+b)(a-b) é distribuído seguindo FOIL, como mostrado.

Passo 3

Aplicando a identidade ao caso concreto: na expressão (a+3)(a-3) temos b=3. Substituindo b=3 na identidade \,a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b) obtemos
(a+3)(a-3)=a^{2}-3^{2}.
Observação: 3^{2} é simplesmente o quadrado de 3.

Passo 4

Verificação rápida por expansão (para ficar seguro na prova): multiplicando direto por FOIL,
(a+3)(a-3)=a\cdot a + a\cdot(-3) + 3\cdot a + 3\cdot(-3)=a^{2}-3a+3a-9.
Os termos -3a e +3a se cancelam, ficando exatamente a forma já obtida pela identidade,
a^{2}-3^{2},
com 3^{2}=9.

Passo 5

Resumo didático rápido: a técnica é reconhecer o produto na forma (a+b)(a-b) e usar que isso é igual a a^{2}-b^{2}. Aqui basta identificar b=3, substituir e (se quiser) calcular 3^{2}=9. Na prova, isso economiza tempo e evita erros de sinais.

Resposta

a^{2}-9

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