Exercício : Um experimento de DTR foi realizado em um reator não ideal com os seguintes resultados.
E(t)=0 \quad para \quad t<1 \min
E(t)=1,0 \min -1 para 1 \leq t \leq 2 \min
E(t)=0 \quad para \quad t>2 \min
(a)Qual é o tempo de residência médio, tm, e a variância \sigma 2 ?
(b)Qual é a fração do fluido que permanece um tempo de 1,5 minuto ou mais no reator?
(c)Que fração do fluido permanece 2 minutos ou menos no reator?
(d)Que fração do fluido permanece entre 1,5 e 2 minutos no reator?

Passo 1

O enunciado descreve a função de distribuição de tempos de residência E(t)\) em um reator não ideal, dada por \[E(t)= \begin{cases} 0, & t<1,\\\\ 1, & 1\le t\le 2,\\\\ 0, & t>2. \end{cases}
Precisamos calcular o tempo médio de residência t_m\], a variância \(\sigma^2 e as frações de fluido que permanecem em intervalos de tempo específicos.

Passo 2

Para achar o tempo médio de residência usamos
t_m=\int_{0}^{\infty}t\,E(t)\,dt=\int_{1}^{2}t\cdot1\,dt =\left[\frac{t^2}{2}\right]_{1}^{2} =\frac{4}{2}-\frac{1}{2} =\frac{3}{2}=1,5\\ \text{min}.

Passo 3

A variância é
\sigma^2=\int_{0}^{\infty}(t-t_m)^2E(t)\,dt =\int_{1}^{2}(t-1,5)^2\,dt =\left[\frac{(t-1,5)^3}{3}\right]_{1}^{2} =\frac{(0,5)^3-(-0,5)^3}{3} =\frac{0,25}{3} =\frac{1}{12}\approx0,0833\\ (\text{min}^2).

Passo 4

A fração do fluido que permanece pelo menos 1,5 min é o complemento de
F(1,5)=\int_{0}^{1,5}E(t)\,dt =\int_{1}^{1,5}1\,dt =0,5,
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1-F(1,5)=1-0,5=0,5.

Passo 5

A fração que sai até 2 min (isto é, que permaneceu no máximo 2 min) é
F(2)=\int_{0}^{2}E(t)\,dt =\int_{1}^{2}1\,dt =1.

Passo 6

A fração que permanece entre 1,5 e 2 min é
\int_{1,5}^{2}E(t)\,dt =\int_{1,5}^{2}1\,dt =0,5.

Resposta

t_m = 1,5\\ \text{min}, \sigma^2 = \tfrac{1}{12}\\ \text{min}^2.
A fração do fluido que permanece pelo menos 1,5 min é 0,5.
A fração do fluido que permanece 2 min ou menos é 1.
A fração do fluido que permanece entre 1,5 e 2 min é 0,5.

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