Exercício 5. Explique por que problemas com condições de Neumann homogêneas
y^{\prime}(0)=0, \quad y^{\prime}(L)=0
podem não ter solução única. Qual condição adicional é necessária para garantir a existência da solução?

Passo 1

O enunciado dá as condições de contorno de Neumann homogêneas
y'(0)=0,\qquad y'(L)=0,
e pede duas coisas: (i) explicar por que problemas com essas condições podem não ter solução única; (ii) dizer qual condição adicional é necessária para garantir a existência da solução.
Vou trabalhar com o caso mais simples e típico que aparece em provas: a equação diferencial linear de segunda ordem com termo forçante
y''(x)=f(x),\qquad 0<x<L,
sujeita às condições de contorno acima. (Se a equação for outra do tipo Ly=f com L autoadjunto, a discussão é análoga; aqui uso y''=f porque é a versão mais básica e a que costuma aparecer.)

Passo 2

Mostrando que a solução pode não ser única: resolva o problema homogêneo associado, isto é, coloque f\equiv0. Então a equação fica
y''(x)=0.
Integral duas vezes dá a solução geral
y(x)=A x + B,
onde A,B são constantes arbitrárias. Agora imponha as condições de Neumann:
y'(x)=A,\quad\text{logo}\quad y'(0)=A=0,\qquad y'(L)=A=0.
As duas condições forçam A=0, mas não dizem nada sobre B. Assim o conjunto de soluções do problema homogêneo é
y(x)=B\quad(B\in\mathbb{R}),
isto é, qualquer constante serve. Conclusão: o problema homogêneo tem um espaço de soluções não-trivial (as constantes), logo o problema inhomogêneo (com f\neq0) — quando tem solução — não pode ser único: se y é solução então y+C também é solução para qualquer constante C. Em linguagem simples: as condições de derivada não fixam o valor absoluto da função, apenas a sua variação; por isso sobra um grau de liberdade (a constante).

Passo 3

Condição necessária para existência (compatibilidade): integre a equação y''(x)=f(x) em [0,L]. Usando o Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{0}^{L} y''(x)\,dx = y'(L)-y'(0).
Pelas condições de Neumann temos y'(L)-y'(0)=0. Logo é necessário que
\int_{0}^{L} f(x)\,dx=0.
Se \displaystyle\int_{0}^{L} f(x)\,dx\neq 0 então não existe função y que satisfaça simultaneamente y''=f e as duas condições y'(0)=y'(L)=0. Um exemplo simples: se f(x)\equiv 1 em [0,1] então \int_0^1 f=1\neq0 e não existe solução com y'(0)=y'(1)=0.

Passo 4

Construindo uma solução quando a compatibilidade vale e mostrando a não-unicidade explícita: defina
G(x)=\int_{0}^{x} f(s)\,ds.
Se \int_{0}^{L} f=0 então G(L)=0. Integrando y''=f uma vez obtemos
y'(x)=C+G(x).
Impondo y'(0)=0 C+G(0)=C=0 (pois G(0)=0), e então y'(x)=G(x). Como G(L)=0 segue y'(L)=0 automaticamente. Integrando de novo,
y(x)=y(0)+\int_{0}^{x} G(t)\,dt.
Portanto existe solução sempre que a compatibilidade \int_0^L f=0 valer, e as soluções formam uma família parametrizada por y(0) (ou seja, por uma constante aditiva). Isso confirma: existência exige a condição integral; unicidade não há, pois sobra a constante y(0).

Passo 5

Como impor unicidade na prática (o que costuma ser pedido em provas): para escolher uma única solução entre a família, acrescente uma condição extra que fixe a constante livre. Duas escolhas comuns:
  • fixar o valor da função num ponto, por exemplo y(0)=0 (ou y(x_0)=\alpha qualquer); ou
  • impor uma condição integral, por exemplo a média nula
\int_{0}^{L} y(x)\,dx=0.
Qualquer uma dessas condições remove o grau de liberdade e torna a solução única (desde que a condição de compatibilidade \int_0^L f=0 também seja satisfeita).

Passo 6

Resumo conceitual (um pouco de teoria útil para decorar): o operador y\mapsto y'' com condições de Neumann tem núcleo (kernel) formado pelas funções constantes. Pela alternativa de Fredholm aplicada a problemas lineares, Ly=f é solucionável somente se f for ortogonal ao núcleo do adjunto; aqui isso se traduz exatamente em \int_0^L f(x)\,dx=0. Quando a solução existe, ela é determinada à adição de qualquer elemento do kernel (ou seja, à adição de uma constante), por isso falta uma condição extra para selecionar uma solução única.

Resposta

As condições de Neumann homogêneas não fixam a constante aditiva: o problema homogêneo y''=0 com y'(0)=y'(L)=0 tem soluções y(x)=\text{const}, logo, se existir solução para y''=f ela é única só até adição de uma constante (não é única no sentido absoluto).
Para que exista solução é necessária a condição de compatibilidade
\int_{0}^{L} f(x)\,dx=0.

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