Exercício 5. Explique por que problemas com condições de Neumann homogêneas
podem não ter solução única. Qual condição adicional é necessária para garantir a existência da solução?
Passo 1
O enunciado dá as condições de contorno de Neumann homogêneas
e pede duas coisas: (i) explicar por que problemas com essas condições podem não ter solução única; (ii) dizer qual condição adicional é necessária para garantir a existência da solução.
Vou trabalhar com o caso mais simples e típico que aparece em provas: a equação diferencial linear de segunda ordem com termo forçante
Vou trabalhar com o caso mais simples e típico que aparece em provas: a equação diferencial linear de segunda ordem com termo forçante
sujeita às condições de contorno acima. (Se a equação for outra do tipo
com
autoadjunto, a discussão é análoga; aqui uso
porque é a versão mais básica e a que costuma aparecer.)
Passo 2
Mostrando que a solução pode não ser única: resolva o problema homogêneo associado, isto é, coloque
. Então a equação fica
Integral duas vezes dá a solução geral
onde
são constantes arbitrárias. Agora imponha as condições de Neumann:
As duas condições forçam
, mas não dizem nada sobre
. Assim o conjunto de soluções do problema homogêneo é
isto é, qualquer constante serve. Conclusão: o problema homogêneo tem um espaço de soluções não-trivial (as constantes), logo o problema inhomogêneo (com
) — quando tem solução — não pode ser único: se
é solução então
também é solução para qualquer constante
. Em linguagem simples: as condições de derivada não fixam o valor absoluto da função, apenas a sua variação; por isso sobra um grau de liberdade (a constante).
Passo 3
Condição necessária para existência (compatibilidade): integre a equação
em
. Usando o Teorema Fundamental do Cálculo,
Pelas condições de Neumann temos
. Logo é necessário que
Se
então não existe função
que satisfaça simultaneamente
e as duas condições
. Um exemplo simples: se
em
então
e não existe solução com
.
Passo 4
Construindo uma solução quando a compatibilidade vale e mostrando a não-unicidade explícita: defina
Se
então
. Integrando
uma vez obtemos
Impondo
dá
(pois
), e então
. Como
segue
automaticamente. Integrando de novo,
Portanto existe solução sempre que a compatibilidade
valer, e as soluções formam uma família parametrizada por
(ou seja, por uma constante aditiva). Isso confirma: existência exige a condição integral; unicidade não há, pois sobra a constante
.
Passo 5
Como impor unicidade na prática (o que costuma ser pedido em provas): para escolher uma única solução entre a família, acrescente uma condição extra que fixe a constante livre. Duas escolhas comuns:
- fixar o valor da função num ponto, por exemplo
(ou qualquer); ou - impor uma condição integral, por exemplo a média nula
Qualquer uma dessas condições remove o grau de liberdade e torna a solução única (desde que a condição de compatibilidade
também seja satisfeita).
Passo 6
Resumo conceitual (um pouco de teoria útil para decorar): o operador
com condições de Neumann tem núcleo (kernel) formado pelas funções constantes. Pela alternativa de Fredholm aplicada a problemas lineares,
é solucionável somente se
for ortogonal ao núcleo do adjunto; aqui isso se traduz exatamente em
. Quando a solução existe, ela é determinada à adição de qualquer elemento do kernel (ou seja, à adição de uma constante), por isso falta uma condição extra para selecionar uma solução única.
Resposta
As condições de Neumann homogêneas não fixam a constante aditiva: o problema homogêneo
com
tem soluções
, logo, se existir solução para
ela é única só até adição de uma constante (não é única no sentido absoluto).
Para que exista solução é necessária a condição de compatibilidade
Para que exista solução é necessária a condição de compatibilidade