Exercício 0.5 Se \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} for convergente e \sum_{k=1}^{\infty} b_{k} divergente, prove que \sum_{k=0}^{\infty}\left(a_{k}+b_{k}\right) será divergente.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A série \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} é convergente.
  • A série \sum_{k=1}^{\infty} b_{k} é divergente.
  • Pede-se para provar que \sum_{k=0}^{\infty}\left(a_{k}+b_{k}\right) é divergente.
Observação sobre índices (apenas listando a informação): os dados originais estão com somatórios começando em k=1, enquanto a série a provar começa em k=0. Isto é uma diferença de um número finito de termos.

Passo 2

Definições e notação (conceitos que vamos usar).
  • Uma série \sum_{k=1}^{\infty} x_k converge se e somente se suas somas parciais
    \;X_n=\sum_{k=1}^{n} x_k\; têm limite finito quando n\to\infty.
    Em notação: \sum_{k=1}^{\infty} x_k converge \iff existe L\in\mathbb{R} tal que \lim_{n\to\infty} X_n = L.
  • Se \sum_{k=1}^{\infty} a_k converge, escrevemos \displaystyle S_n=\sum_{k=1}^{n} a_k e existe S\in\mathbb{R} com \lim_{n\to\infty} S_n = S.
  • Se \sum_{k=1}^{\infty} b_k diverge, então para T_n=\sum_{k=1}^{n} b_k não existe limite finito \lim_{n\to\infty} T_n.
Também vamos considerar as somas parciais da série que queremos analisar:
U_n=\sum_{k=1}^{n}(a_k+b_k).
Note que, pela definição de soma parcial,
U_n = S_n + T_n.

Passo 3

Estratégia por contradição (explicada didaticamente).
  • Para provar que \sum_{k=0}^{\infty}(a_k+b_k) diverge, é conveniente assumir o contrário: suponha que \sum_{k=0}^{\infty}(a_k+b_k) converge. Vou mostrar que isso leva a uma contradição com a hipótese de que \sum_{k=1}^{\infty} b_k diverge.
  • Antes de operar com índices, note um fato importante e simples: adicionar ou retirar um número finito de termos não altera a convergência de uma série. Em particular, a diferença entre começar em k=0 ou em k=1 é só o termo a_0+b_0, um número fixo; assim a convergência de \sum_{k=0}^{\infty}(a_k+b_k) é equivalente à convergência de \sum_{k=1}^{\infty}(a_k+b_k). Por isso posso trabalhar com U_n=\sum_{k=1}^{n}(a_k+b_k) sem perda de generalidade.

Passo 4

Uso da linearidade de limites (aqui ensino o porquê).
  • Se duas sequências x_n e y_n convergem para x e y respectivamente, então a sequência x_n - y_n converge para x - y. Uma forma curta de ver isso é pelo argumento \varepsilon- N: dado \varepsilon>0 escolhe-se N grande o suficiente para que |x_n-x|<\varepsilon/2 e |y_n-y|<\varepsilon/2 para todo n\ge N; então |(x_n-y_n)-(x-y)|\le|x_n-x|+|y_n-y|<\varepsilon. Assim a diferença de limites é o limite da diferença.
  • Aplicando isso ao nosso caso: se S_n\to S e U_n\to U, então T_n = U_n - S_n \to U - S. Ou seja, T_n teria limite finito.

Passo 5

Concluir a contradição e terminar a prova.
  • Assuma, para obter contradição, que \sum_{k=0}^{\infty}(a_k+b_k) converge. Como explicado, isso é equivalente a supor que \sum_{k=1}^{\infty}(a_k+b_k) converge; logo as somas parciais U_n convergem para algum U\in\mathbb{R}.
  • Como dado, S_n\to S para algum S\in\mathbb{R} (porque \sum a_k converge).
  • Pelas propriedades de limites (Passo 4), T_n = U_n - S_n também converge, com \lim_{n\to\infty} T_n = U - S.
  • Mas T_n são precisamente as somas parciais de \sum b_k. Isso significa que \sum b_k seria convergente — contradizendo a hipótese de que \sum b_k é divergente.
  • Portanto a suposição inicial (de que \sum (a_k+b_k) converge) é falsa; logo \sum_{k=0}^{\infty}(a_k+b_k) é divergente.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\bigl(a_k+b_k\bigr) é divergente.

Exercícios relacionados