Exercício 0.5 Se
for convergente
divergente, prove que
será divergente.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- A série
é convergente. - A série
é divergente. - Pede-se para provar que
é divergente.
Observação sobre índices (apenas listando a informação): os dados originais estão com somatórios começando em
, enquanto a série a provar começa em
. Isto é uma diferença de um número finito de termos.
Passo 2
Definições e notação (conceitos que vamos usar).
- Uma série
converge se e somente se suas somas parciais
têm limite finito quando .
Em notação:converge existe tal que . - Se
converge, escrevemos e existe com . - Se
diverge, então para não existe limite finito .
Também vamos considerar as somas parciais da série que queremos analisar:
Note que, pela definição de soma parcial,
Passo 3
Estratégia por contradição (explicada didaticamente).
- Para provar que
diverge, é conveniente assumir o contrário: suponha que converge. Vou mostrar que isso leva a uma contradição com a hipótese de que diverge. - Antes de operar com índices, note um fato importante e simples: adicionar ou retirar um número finito de termos não altera a convergência de uma série. Em particular, a diferença entre começar em
ou em é só o termo , um número fixo; assim a convergência de é equivalente à convergência de . Por isso posso trabalhar com sem perda de generalidade.
Passo 4
Uso da linearidade de limites (aqui ensino o porquê).
- Se duas sequências
e convergem para e respectivamente, então a sequência converge para . Uma forma curta de ver isso é pelo argumento - : dado escolhe-se grande o suficiente para que e para todo ; então . Assim a diferença de limites é o limite da diferença. - Aplicando isso ao nosso caso: se
e , então . Ou seja, teria limite finito.
Passo 5
Concluir a contradição e terminar a prova.
- Assuma, para obter contradição, que
converge. Como explicado, isso é equivalente a supor que converge; logo as somas parciais convergem para algum . - Como dado,
para algum (porque converge). - Pelas propriedades de limites (Passo 4),
também converge, com . - Mas
são precisamente as somas parciais de . Isso significa que seria convergente — contradizendo a hipótese de que é divergente. - Portanto a suposição inicial (de que
converge) é falsa; logo é divergente.
Resposta
A série
é divergente.