Exercício 0.2 Calcule a soma das séries abaixo
l) \sum_{k=2}^{\infty} \frac{2}{k^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série infinita
\sum_{k=2}^{\infty} \frac{2}{k^{2}-1}.
Informações relevantes dadas:
  • A soma é sobre k inteiro com k\ge2.
  • Cada termo é \dfrac{2}{k^{2}-1}.
    O que precisamos responder: verificar que a série converge e calcular o valor exato da soma.

Passo 2

Vamos primeiro verificar rapidamente a convergência (isso é útil antes de tentar somar). Compare o termo dado com 1/k^{2}. Considere a sequência dos termos
a_k=\frac{2}{k^{2}-1}\quad\text{e}\quad b_k=\frac{1}{k^{2}}.
Fazendo a comparação por limite:
\lim_{k\to\infty}\frac{a_k}{b_k}=\lim_{k\to\infty}\frac{2}{k^{2}-1}\cdot k^{2} =2\lim_{k\to\infty}\frac{k^{2}}{k^{2}-1}=2.
Como \sum b_k=\sum 1/k^{2} é uma série convergente (série p com p=2>1) e o quociente limite é finito não nulo, pela comparação limite concluímos que \sum a_k também converge. Agora que sabemos que há soma finita, vamos calcular o valor exato.

Passo 3

Uma técnica clássica aqui é decompor cada termo em frações parciais (isso cria um efeito telescópico). Para cada k\ge2,
\frac{2}{k^{2}-1}=\frac{2}{(k-1)(k+1)}.
Procuramos constantes A e B tais que
\frac{2}{(k-1)(k+1)}=\frac{A}{k-1}+\frac{B}{k+1}.
Multiplicando ambos os lados por (k-1)(k+1) obtemos
2=A(k+1)+B(k-1).
Escolhendo valores convenientes de k (método rápido): para k=1 2=2A então A=1. Para k=-1 2=-2B então B=-1. Portanto
\frac{2}{k^{2}-1}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k+1}.

Passo 4

Agora formamos a soma parcial até n e observamos o telescopamento:
S_n=\sum_{k=2}^{n}\frac{2}{k^{2}-1}=\sum_{k=2}^{n}\left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k+1}\right).
Escrevendo os primeiros termos explicitamente:
S_n=\bigl(1-\tfrac{1}{3}\bigr)+\bigl(\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{4}\bigr)+\bigl(\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{5}\bigr)+\cdots+\bigl(\tfrac{1}{n-1}-\tfrac{1}{n+1}\bigr).
Ao somar, muitos termos se cancelam (isso é o que chamamos de soma telescópica). Os termos \tfrac{1}{3},\tfrac{1}{4},\ldots,\tfrac{1}{n-1} aparecem com sinal + e também com sinal -, então cancelam. O que sobra é
S_n=1+\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{n}-\tfrac{1}{n+1}.
Podemos escrever de forma compacta:
S_n=\frac{3}{2}-\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}\right).

Passo 5

Agora tomamos o limite quando n\to\infty. Como
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0\qquad\text{e}\qquad\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0,
segue que
\sum_{k=2}^{\infty}\frac{2}{k^{2}-1}=\lim_{n\to\infty}S_n=\frac{3}{2}.
Então a série converge e sua soma é \tfrac{3}{2}.

Resposta

\dfrac{3}{2}

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