Exercício 0.2 Calcule a soma das séries abaixo
l)
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Passo 1
O enunciado pede para calcular a soma da série infinita
Informações relevantes dadas:
- A soma é sobre
inteiro com . - Cada termo é
.
O que precisamos responder: verificar que a série converge e calcular o valor exato da soma.
Passo 2
Vamos primeiro verificar rapidamente a convergência (isso é útil antes de tentar somar). Compare o termo dado com
. Considere a sequência dos termos
Fazendo a comparação por limite:
Como
é uma série convergente (série
com
) e o quociente limite é finito não nulo, pela comparação limite concluímos que
também converge. Agora que sabemos que há soma finita, vamos calcular o valor exato.
Passo 3
Uma técnica clássica aqui é decompor cada termo em frações parciais (isso cria um efeito telescópico). Para cada
,
Procuramos constantes
e
tais que
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Escolhendo valores convenientes de
(método rápido): para
dá
então
. Para
dá
então
. Portanto
Passo 4
Agora formamos a soma parcial até
e observamos o telescopamento:
Escrevendo os primeiros termos explicitamente:
Ao somar, muitos termos se cancelam (isso é o que chamamos de soma telescópica). Os termos
aparecem com sinal
e também com sinal
, então cancelam. O que sobra é
Podemos escrever de forma compacta:
Passo 5
Agora tomamos o limite quando
. Como
segue que
Então a série converge e sua soma é
.