(Exercício Extra) Prove a identidade (6) através dos seguintes passos:\n(b) Utilizando a função
prove o Lema 2:
Passo 1
Resumo da questão: a gente precisa provar o Lema 2, que diz
onde
é um vetor constante,
é o vetor de posição, e
é o vetor área da superfície
com normal
.
Conteúdo da matéria: Teorema de Stokes (ou versão vetorial de Green em ) e propriedades de gradiente. Vamos usar a fórmula geral que relaciona a integral de linha de um escalar vezes
com a integral de superfície do gradiente desse escalar cruzado com a normal.
Conteúdo da matéria: Teorema de Stokes (ou versão vetorial de Green em
Passo 2
Teorema que vamos precisar (versão vetorial de Green/Stokes para escalares):
Para uma função suficientemente suave e uma superfície
com fronteira
e normal unitária
, vale
Para uma função
Intuitivamente, é como aplicar Stokes, mas para o “campo vetorial”
de forma que aparece
.
Passo 3
Aplicando o teorema ao nosso caso:
– Escolhemos .
– Primeiro calculamos o gradiente:
– Escolhemos
– Primeiro calculamos o gradiente:
porque
é constante e
.
– Pelo teorema,
– Pelo teorema,
Passo 4
Agora exploramos que
é constante, então podemos tirá-lo para fora da integral vetorial, lembrando a propriedade
:
Mas como
, temos
.
No entanto, atenção: pela orientação padrão de e
a fórmula que escrevemos dá diretamente
.
No entanto, atenção: pela orientação padrão de