(Exercício Extra) Prove a identidade (6) através dos seguintes passos:\n(b) Utilizando a função
f(r)=c cdot r
prove o Lema 2:
ointpartial S(c cdot r) d r=S times c

Passo 1

Resumo da questão: a gente precisa provar o Lema 2, que diz
ointpartial S (ccdot r),dr ;=;Stimes c,
onde é um vetor constante, é o vetor de posição, e é o vetor área da superfície com normal .
Conteúdo da matéria: Teorema de Stokes (ou versão vetorial de Green em ) e propriedades de gradiente. Vamos usar a fórmula geral que relaciona a integral de linha de um escalar vezes com a integral de superfície do gradiente desse escalar cruzado com a normal.

Passo 2

Teorema que vamos precisar (versão vetorial de Green/Stokes para escalares):
Para uma função boxed ointpartial S f(r),dr ;=; integralSl(nabla f(r)r)times n;dS suficientemente suave e uma superfície com fronteira e normal unitária , vale
Intuitivamente, é como aplicar Stokes, mas para o “campo vetorial” de forma que aparece .

Passo 3

Aplicando o teorema ao nosso caso:
– Escolhemos nabla f(r) =nabla(ccdot r) =c, .
– Primeiro calculamos o gradiente:
ointpartial S(ccdot r),dr =integralSl(nabla f(r)r)times n;dS =integralSctimes n;dS
porque é constante e .
– Pelo teorema,

Passo 4

Agora exploramos que integralSctimes n,dS =ctimes integralSn,dS =ctimes S é constante, então podemos tirá-lo para fora da integral vetorial, lembrando a propriedade :
Mas como , temos
.
No entanto, atenção: pela orientação padrão de e a fórmula que escrevemos dá diretamente
.

Resposta

boxed; ointpartial S(ccdot r),dr =Stimes c ;

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