(Exercício Extra) Prove a identidade (6) através dos seguintes passos:\n(a) Utilizando a identidade abaixo
a times b cdot c=c times a cdot b=b times c cdot a
prove o Lema 1:
integralS nabla f times d s=-ointpartial S f d r
Dica: Utilize o teorema de Stokes com
v=c f c= const

Passo 1

Beleza, resumindo o que o exercício pede: provar o Lema
integralSnabla ftimes dvec s ;=;-,ointpartial Sf,dvec r
Isso é assunto de Cálculo Vetorial: vai envolver o Teorema de Stokes, produto vetorial e o gradiente. Para resolver precisamos
  1. Teorema de Stokes:
integralS(nablatimesvec v)cdotvec n,dS ;=;ointpartial Svec vcdot dvec r
2) Identidade do produto misto (triplo escalar):
(vec atimesvec b)cdotvec c ;=;(vec ctimesvec a)cdotvec b ;=;(vec btimesvec c)cdotvec a
  1. Saber que se vec c é constante então nablatimesvec c=0.

Passo 2

A ideia é “testar” a relação contra um vetor constante vec c. Definimos
vec v = vec c,f(x,y,z),
onde vec c é fixo. Pelo Teorema de Stokes:
integralS(nablatimesvec v)cdotvec n,dS ;=;ointpartial Svec vcdot dvec r ;;Longrightarrow;; integralS(nablatimes(vec c,f))cdotvec n,dS =ointpartial Sf,vec ccdot dvec r

Passo 3

Agora calculamos o rotacional de vec v:
nablatimes(vec c,f) =nabla ftimesvec c ;+;f;(nablatimesvec c) =nabla ftimesvec c
porque nablatimesvec c=0. Então a integral do lado esquerdo vira
integralS(nabla ftimesvec c)cdotvec n,dS

Passo 4

Use o produto misto para “tirar” vec c do escalar misto:
(nabla ftimesvec c)cdotvec n =l(vec ntimesnabla fr)cdotvec c pela identidade (vec atimesvec b)cdotvec c=(vec ctimesvec a)cdotvec b
Note que vec ntimesnabla f=-(nabla ftimesvec n), então
(nabla ftimesvec c)cdotvec n =-,(nabla ftimesvec n)cdotvec c
Logo
integralS(nabla ftimesvec c)cdotvec n,dS =-,integralS(nabla ftimesvec n)cdotvec c,dS =-,vec ccdotintegralSnabla ftimes dvec s

Passo 5

O lado direito do Stokes que tínhamos é
ointpartial Sf,vec ccdot dvec r =vec ccdotointpartial Sf,dvec r
Portanto o Teorema de Stokes vira
-,vec ccdot!integralSnabla ftimes dvec s ;=; vec ccdot!ointpartial Sf,dvec r
Isso vale para qualquer vec c constante. A única forma é o vetor dentro do “ cdot” ser zero:

Resposta

boxed integralSnabla ftimes dvec s ;=; -,ointpartial Sf,dvec r

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