(Exercício Extra) Prove a identidade (6) através dos seguintes passos:\n(a) Utilizando a identidade abaixo
prove o Lema 1:
Dica: Utilize o teorema de Stokes com
Passo 1
Beleza, resumindo o que o exercício pede: provar o Lema
Isso é assunto de Cálculo Vetorial: vai envolver o Teorema de Stokes, produto vetorial e o gradiente. Para resolver precisamos
- Teorema de Stokes:
2) Identidade do produto misto (triplo escalar):
- Saber que se
é constante então .
Passo 2
A ideia é “testar” a relação contra um vetor constante
. Definimos
onde
é fixo. Pelo Teorema de Stokes:
Passo 3
Agora calculamos o rotacional de
:
porque
. Então a integral do lado esquerdo vira
Passo 4
Use o produto misto para “tirar”
do escalar misto:
Note que
, então
Logo
Passo 5
O lado direito do Stokes que tínhamos é
Portanto o Teorema de Stokes vira
Isso vale para qualquer
constante. A única forma é o vetor dentro do “
” ser zero: