1. Em 3 h 24 min um balão flutua 8,7 km para o norte, 9,7 km para o leste e 2,9 km em elevação desde seu ponto de partida no solo. Encontre ( a ) o módulo de sua velocidade média e ( b ) o ângulo que sua velocidade média faz com a horizontal.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que um balão, em um intervalo de tempo de 3 h 24 min, se desloca 8,7 km para o norte, 9,7 km para o leste e 2,9 km para cima. A matéria aqui é cinemática vetorial: a gente vai tratar o deslocamento como um vetor em 3D, calcular seu módulo (comprimento) e daí obter a velocidade média (módulo do vetor-velocidade) e o ângulo desse vetor com o plano horizontal. Para resolver isso precisamos:
  1. Converter o tempo para horas decimais.
  2. Montar o vetor-deslocamento, achar sua magnitude.
  3. Dividir essa magnitude pelo tempo (velocidade média).
  4. Calcular o ângulo entre o vetor-deslocamento e o plano horizontal usando arctan.

Passo 2

Primeiro, converte o tempo de 3 h 24 min para horas decimais:
De
Isso facilita porque a velocidade média em km/h sai direto.

Passo 3

Agora, o vetor-deslocamento drm h = raizdx^2 + dy^2 = raiz8,7^2 + 9,7^2 approx raiz75,69 + 94,09 = raiz169,78 approx 13,03;km tem componentes:
– Norte (eixo |vec d| = raizdrm h^2 + dz^2 = raiz13,03^2 + 2,9^2 approx raiz169,78 + 8,41 = raiz178,19 approx 13,35;km ): ,km
– Leste (eixo ): ,km
– Vertical (eixo ): ,km
  1. A gente encontra primeiro a projeção horizontal (no plano ):
  1. Agora o módulo total do deslocamento em 3D:

Passo 4

Velocidade média é o módulo do deslocamento dividido pelo tempo:
vrm m = |vec d|De

Passo 5

Para achar o ângulo tantheta = dzdrm h = 2,913,03 approx 0,2227 Longrightarrow theta = arctan(0,2227) approx 12,5^circ entre e o plano horizontal, usamos a projeção vertical sobre a horizontal:

Resposta

(a) A velocidade média do balão é cerca de .
(b) O ângulo entre sua velocidade média e a horizontal é aproximadamente .

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