Verifique se a função \langle\cdot, \cdot\rangle dada é um produto interno em V nos casos:
V=\mathbb{R}^{2} \mathrm{e}<\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)>=\frac{x_{1} x_{2}}{a^{2}}+\frac{y_{1} y_{2}}{b^{2}}\\, onde \(a, b \in \mathbb{R}.)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • O enunciado fornece o espaço vetorial V=\mathbb{R}^{2}.
  • Dá a função \langle\cdot,\cdot\rangle: \mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por
\langle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\rangle=\frac{x_{1}x_{2}}{a^{2}}+\frac{y_{1}y_{2}}{b^{2}},
onde a,b\in\mathbb{R}.
  • O que é pedido: verificar se essa função é um produto interno em V, ou seja, determinar para quais valores de a e b (se houver) ela satisfaz as propriedades exigidas.

Passo 2

Relembrando (com detalhes) as propriedades que uma função deve satisfazer para ser um produto interno em um espaço real. Vou escrever cada propriedade e explicar o que significa e por que é relevante:
  • Simetria: para todos u,v\in V deve valer
\langle u,v\rangle=\langle v,u\rangle.
Isto significa que trocar os argumentos não altera o valor — a forma é “simétrica”.
  • Linearidade nas componentes: para todos u,w,v\in V e todos \alpha,\beta\in\mathbb{R} deve valer
\langle \alpha u+\beta w, v\rangle=\alpha\langle u,v\rangle+\beta\langle w,v\rangle,
e análogamente linearidade no segundo argumento (para espaço real, muitas vezes se exige bilinearidade). Linearidade significa que a forma se comporta bem com soma e multiplicação por escalar.
  • Positividade definida (definitude positiva): para todo v\in V
\langle v,v\rangle\ge 0,
e além disso
\langle v,v\rangle=0\quad\text{se e somente se}\quad v=0.
Isto garante que a “norma” derivada é zero apenas para o vetor nulo e é sempre não negativa.
Para mostrar que a dada \langle\cdot,\cdot\rangle é produto interno preciso verificar essas três propriedades (ou equivalente: simetria, bilinearidade e positividade estrita).

Passo 3

Verificando a simetria explicitamente.
Se u=(x_{1},y_{1}) e v=(x_{2},y_{2}), então pela definição
\langle u,v\rangle=\frac{x_{1}x_{2}}{a^{2}}+\frac{y_{1}y_{2}}{b^{2}}.
Trocando u por v e v por u obtemos
\langle v,u\rangle=\frac{x_{2}x_{1}}{a^{2}}+\frac{y_{2}y_{1}}{b^{2}}.
Como a multiplicação real é comutativa, x_{1}x_{2}=x_{2}x_{1} e y_{1}y_{2}=y_{2}y_{1}. Portanto
\langle u,v\rangle=\langle v,u\rangle.
Conclusão: a forma é simétrica para quaisquer a,b (desde que os denominadores estejam bem definidos).

Passo 4

Verificando a linearidade (mostrando detalhadamente a propriedade para combinação linear no primeiro argumento; a do segundo argumento pode ser tratada de modo análogo ou deduzida pela simetria).
Sejam u=(x_{1},y_{1}), w=(x_{1}',y_{1}'), v=(x_{2},y_{2}) e \alpha,\beta\in\mathbb{R}. Então
\alpha u+\beta w=(\alpha x_{1}+\beta x_{1}',\;\alpha y_{1}+\beta y_{1}').
Aplicando a definição,
\langle \alpha u+\beta w, v\rangle =\frac{(\alpha x_{1}+\beta x_{1}')x_{2}}{a^{2}}+\frac{(\alpha y_{1}+\beta y_{1}')y_{2}}{b^{2}}.
Distribuindo os termos (propriedade distributiva da multiplicação sobre soma),
\langle \alpha u+\beta w, v\rangle =\alpha\left(\frac{x_{1}x_{2}}{a^{2}}+\frac{y_{1}y_{2}}{b^{2}}\right) +\beta\left(\frac{x_{1}'x_{2}}{a^{2}}+\frac{y_{1}'y_{2}}{b^{2}}\right).
Reconhecendo cada parêntese como um produto interno,
\langle \alpha u+\beta w, v\rangle=\alpha\langle u,v\rangle+\beta\langle w,v\rangle.
Portanto há linearidade no primeiro argumento. Pela simetria essa linearidade implica também linearidade no segundo argumento (ou pode ser verificada da mesma forma). Conclusão: a forma é bilinear para quaisquer a,b (novamente, desde que os denominadores sejam válidos).

Passo 5

Verificando a positividade (definitude positiva), que é a parte onde surgem condições sobre a e b.
Calculemos \langle v,v\rangle para v=(x,y):
\langle (x,y),(x,y)\rangle=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}.
Observe alguns pontos importantes:
  • Para qualquer x,y\in\mathbb{R}, temos x^{2}\ge 0 e y^{2}\ge 0.
  • Se a e b são números reais não nulos, então a^{2}>0 e b^{2}>0, logo cada fração \dfrac{x^{2}}{a^{2}} e \dfrac{y^{2}}{b^{2}} é não negativa, e a soma é não negativa. Assim \langle v,v\rangle\ge 0.
  • Para que \langle v,v\rangle=0 ocorra, precisamos de
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=0.
Como cada termo é não negativo, isso só acontece se ambos termos forem zero, ou seja x^{2}/a^{2}=0 e y^{2}/b^{2}=0, o que implica x=0 e y=0. Portanto \langle v,v\rangle=0 só para v=(0,0). Isso prova a definitude positiva quando a\neq 0 e b\neq 0.
  • Se a=0 ou b=0, a expressão \dfrac{x^{2}}{a^{2}} ou \dfrac{y^{2}}{b^{2}} não está definida (divisão por zero). Logo para a=0 ou b=0 a forma nem sequer é bem definida como função \mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}, e portanto não pode ser um produto interno.
  • Note que o sinal de a ou b (positivo ou negativo) não importa, porque aparecem ao quadrado; mesmo se a<0 tem-se a^{2}>0. Assim apenas a nulidade de a ou b importa.

Passo 6

Resumo das verificações (sem repetir a resposta final textualmente):
  • A simetria foi verificada para quaisquer a,b (com denominadores definidos).
  • A linearidade (bilinearidade) foi verificada para quaisquer a,b (com denominadores definidos).
  • A positividade e a condição de nulidade apenas para o vetor nulo exigem que a^{2}>0 e b^{2}>0, isto é, que a e b não sejam zero. Se algum for zero, a forma não é bem definida.

Resposta

A função é um produto interno em \mathbb{R}^{2} se, e somente se, a\neq 0 e b\neq 0.

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