Verifique se a função
dada é um produto interno em
nos casos:
.)
.)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- O enunciado fornece o espaço vetorial
. - Dá a função
definida por
onde
.
- O que é pedido: verificar se essa função é um produto interno em
, ou seja, determinar para quais valores de e (se houver) ela satisfaz as propriedades exigidas.
Passo 2
Relembrando (com detalhes) as propriedades que uma função deve satisfazer para ser um produto interno em um espaço real. Vou escrever cada propriedade e explicar o que significa e por que é relevante:
- Simetria: para todos
deve valer
Isto significa que trocar os argumentos não altera o valor — a forma é “simétrica”.
- Linearidade nas componentes: para todos
e todos deve valer
e análogamente linearidade no segundo argumento (para espaço real, muitas vezes se exige bilinearidade). Linearidade significa que a forma se comporta bem com soma e multiplicação por escalar.
- Positividade definida (definitude positiva): para todo
e além disso
Isto garante que a “norma” derivada é zero apenas para o vetor nulo e é sempre não negativa.
Para mostrar que a dada
é produto interno preciso verificar essas três propriedades (ou equivalente: simetria, bilinearidade e positividade estrita).
Passo 3
Verificando a simetria explicitamente.
Se
e
, então pela definição
Trocando
por
e
por
obtemos
Como a multiplicação real é comutativa,
e
. Portanto
Conclusão: a forma é simétrica para quaisquer
(desde que os denominadores estejam bem definidos).
Passo 4
Verificando a linearidade (mostrando detalhadamente a propriedade para combinação linear no primeiro argumento; a do segundo argumento pode ser tratada de modo análogo ou deduzida pela simetria).
Sejam
,
,
e
. Então
Aplicando a definição,
Distribuindo os termos (propriedade distributiva da multiplicação sobre soma),
Reconhecendo cada parêntese como um produto interno,
Portanto há linearidade no primeiro argumento. Pela simetria essa linearidade implica também linearidade no segundo argumento (ou pode ser verificada da mesma forma). Conclusão: a forma é bilinear para quaisquer
(novamente, desde que os denominadores sejam válidos).
Passo 5
Verificando a positividade (definitude positiva), que é a parte onde surgem condições sobre
e
.
Calculemos
para
:
Observe alguns pontos importantes:
- Para qualquer
, temos e . - Se
e são números reais não nulos, então e , logo cada fração e é não negativa, e a soma é não negativa. Assim . - Para que
ocorra, precisamos de
Como cada termo é não negativo, isso só acontece se ambos termos forem zero, ou seja
e
, o que implica
e
. Portanto
só para
. Isso prova a definitude positiva quando
e
.
-
Se
ou , a expressão ou não está definida (divisão por zero). Logo para ou a forma nem sequer é bem definida como função , e portanto não pode ser um produto interno. -
Note que o sinal de
ou (positivo ou negativo) não importa, porque aparecem ao quadrado; mesmo se tem-se . Assim apenas a nulidade de ou importa.
Passo 6
Resumo das verificações (sem repetir a resposta final textualmente):
- A simetria foi verificada para quaisquer
(com denominadores definidos). - A linearidade (bilinearidade) foi verificada para quaisquer
(com denominadores definidos). - A positividade e a condição de nulidade apenas para o vetor nulo exigem que
e , isto é, que e não sejam zero. Se algum for zero, a forma não é bem definida.
Resposta
A função é um produto interno em
se, e somente se,
e
.